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Trigonometría plana - Matemáticas


Trigonometría plana - Matemáticas

Tratado sobre trigonometría plana y avanzada (Dover Books on Mathematics) 7a edición

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Horario de clases a partir del 07/07/2021 06:39:17 AM Hora de verano del Pacífico

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Universidad de Crafton Hills Verano 2021 Matemáticas

Información del curso

Nombre del curso : MATEMÁTICAS-103

Título del curso : Trigonometría plana

Descripción del curso : Estudio de las funciones circulares, Teorema de DeMoivre y aplicaciones. Se pone énfasis en el dominio de las identidades trigonométricas y la solución de ecuaciones trigonométricas. Si compra un libro usado, es posible que deba comprar un nuevo software a un costo adicional.

Información adicional del curso

Tipo de crédito: Las unidades obtenidas para este curso se aplican a un título asociado.

Transferibilidad: Transferencias de créditos del curso a CSU.

Requisito previo : MATH 095 o elegibilidad para MATH 103 según lo determinado a través del proceso de evaluación de Crafton Hills College.

¿Qué significa menos de días?

Dias contienen S, M, T, W, R, F, S y / o Arrange. Representan lo siguiente:
S : Domingo. M: Lunes. T: Martes. W: Miércoles. R: Jueves. F: Viernes. S : Sábado.
Arreglar : Debe concertar una cierta cantidad de tiempo (en Inicio y Fin) con el instructor


Contenido

Euclides estableció el primer gran hito del pensamiento matemático, un tratamiento axiomático de la geometría. [1] Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (llamado nociones comunes) y postulados (o axiomas) que luego usó para probar varios enunciados geométricos. Aunque al plano en su sentido moderno no se le da directamente una definición en ninguna parte del Elementos, se puede considerar como parte de las nociones comunes. [2] Euclides nunca usó números para medir longitud, ángulo o área. De esta manera, el plano euclidiano no es exactamente el mismo que el plano cartesiano.

Esta sección se ocupa únicamente de los planos incrustados en tres dimensiones: específicamente, en R 3 .

Determinación por puntos y líneas contenidos Editar

En un espacio euclidiano de cualquier número de dimensiones, un plano está determinado de forma única por cualquiera de los siguientes:

  • Tres puntos no colineales (puntos que no están en una sola línea).
  • Una línea y un punto que no está en esa línea.
  • Dos líneas distintas pero que se cruzan.
  • Dos líneas distintas pero paralelas.

Propiedades Editar

Las siguientes afirmaciones se mantienen en el espacio euclidiano tridimensional pero no en dimensiones superiores, aunque tienen análogos de dimensiones superiores:

  • Dos planos distintos son paralelos o se cruzan en una línea.
  • Una línea es paralela a un plano, lo corta en un solo punto o está contenida en el plano.
  • Dos líneas distintas perpendiculares al mismo plano deben ser paralelas entre sí.
  • Dos planos distintos perpendiculares a la misma línea deben ser paralelos entre sí.

Punto: forma normal y forma general de la ecuación de un plano Editar

De manera análoga a la forma en que se describen las líneas en un espacio bidimensional usando una forma de punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural usando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal) para indicar su "inclinación".

Específicamente, deje r0 ser el vector de posición de algún punto PAG0 = (X0, y0, z0) , y deja norte = (a, B, C) ser un vector distinto de cero. El plano determinado por el punto PAG0 y el vector norte consta de esos puntos PAG , con vector de posición r , tal que el vector extraído de PAG0 para PAG es perpendicular a norte . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado se puede describir como el conjunto de todos los puntos r tal que

El punto aquí significa un producto de puntos (escalar).
Expandido esto se convierte

Cuál es el punto: normal forma de la ecuación de un avión. [3] Esta es solo una ecuación lineal

En matemáticas es una convención común expresar lo normal como un vector unitario, pero el argumento anterior es válido para un vector normal de cualquier longitud distinta de cero.

Por el contrario, se muestra fácilmente que si a, B, C y D son constantes y a, B , y C no son todos cero, entonces la gráfica de la ecuación

es un avión que tiene el vector norte = (a, B, C) como de costumbre. [4] Esta ecuación familiar para un avión se llama forma general de la ecuación del plano. [5]

Así, por ejemplo, una ecuación de regresión de la forma y = D + hacha + cz (con B = −1) establece un plano de mejor ajuste en el espacio tridimensional cuando hay dos variables explicativas.

Describir un plano con un punto y dos vectores sobre él Editar

Alternativamente, un plano puede describirse paramétricamente como el conjunto de todos los puntos de la forma

donde s y t abarcar todos los números reales, v y w se dan vectores linealmente independientes que definen el plano, y r0 es el vector que representa la posición de un punto arbitrario (pero fijo) en el plano. Los vectores v y w se pueden visualizar como vectores que comienzan en r0 y apuntando en diferentes direcciones a lo largo del avión. Los vectores v y w puede ser perpendicular, pero no paralelo.

Describir un plano a través de tres puntos Editar

Método 1 Editar

El avión que pasa pag1 , pag2 , y pag3 se puede describir como el conjunto de todos los puntos (X,y,z) que satisfacen las siguientes ecuaciones determinantes:

Método 2 Editar

Para describir el plano mediante una ecuación de la forma a x + b y + c z + d = 0 < displaystyle ax + by + cz + d = 0>, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Este sistema se puede resolver utilizando la regla de Cramer y manipulaciones matriciales básicas. Dejar

Si D es distinto de cero (por lo que para los planos que no pasan por el origen) los valores para a, B y C se puede calcular de la siguiente manera:

Estas ecuaciones son paramétricas en D. Configuración D igual a cualquier número distinto de cero y sustituirlo en estas ecuaciones producirá un conjunto de soluciones.

Método 3 Editar

Este plano también se puede describir mediante la prescripción de "punto y un vector normal" anterior. Un vector normal adecuado viene dado por el producto cruzado

y el punto r0 puede tomarse como cualquiera de los puntos dados pag1 , pag2 o pag3 [6] (o cualquier otro punto del avión).

Distancia de un punto a un plano Editar

Otra forma vectorial para la ecuación de un plano, conocida como la forma normal de Hesse, se basa en el parámetro D. Este formulario es: [5]

Intersección línea-plano Editar

En geometría analítica, la intersección de una línea y un plano en un espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío, un punto o una línea.

Línea de intersección entre dos planos Editar

Se llega al resto de la expresión encontrando un punto arbitrario en la línea. Para hacerlo, considera que cualquier punto en el espacio se puede escribir como r = c 1 n 1 + c 2 n 2 + λ (n 1 × n 2) < displaystyle < boldsymbol > = c_ <1> < boldsymbol > _ <1> + c_ <2> < boldsymbol > _ <2> + lambda (< boldsymbol > _ <1> times < boldsymbol > _ <2>)>, ya que < displaystyle << boldsymbol > _ <1>, < símbolo en negrita > _ <2>, (< símbolo en negrita > _ <1> times < boldsymbol > _ <2>) >> es una base. Deseamos encontrar un punto que esté en ambos planos (es decir, en su intersección), así que inserte esta ecuación en cada una de las ecuaciones de los planos para obtener dos ecuaciones simultáneas que se puedan resolver para c 1 < displaystyle c_ <1>> y c 2 < displaystyle c_ <2>>.

Ángulo diedro Editar

Además de su estructura geométrica familiar, con isomorfismos que son isometrías con respecto al producto interno habitual, el plano puede verse en varios otros niveles de abstracción. Cada nivel de abstracción corresponde a una categoría específica.

En un extremo, todos los conceptos geométricos y métricos pueden abandonarse para abandonar el plano topológico, que puede considerarse como una lámina de caucho infinita homotópicamente trivial idealizada, que conserva una noción de proximidad, pero no tiene distancias. El plano topológico tiene el concepto de trayectoria lineal, pero no el concepto de línea recta. El plano topológico, o su equivalente el disco abierto, es la vecindad topológica básica utilizada para construir superficies (o 2-variedades) clasificadas en topología de baja dimensión. Los isomorfismos del plano topológico son todos biyecciones continuas. El plano topológico es el contexto natural para la rama de la teoría de grafos que se ocupa de grafos planos y resultados como el teorema de los cuatro colores.

El plano también puede verse como un espacio afín, cuyos isomorfismos son combinaciones de traslaciones y mapas lineales no singulares. Desde este punto de vista no hay distancias, pero se conservan la colinealidad y las relaciones de distancias en cualquier línea.

La geometría diferencial ve un plano como una variedad real bidimensional, un plano topológico que está provisto de una estructura diferencial. Nuevamente, en este caso, no existe la noción de distancia, pero ahora existe un concepto de suavidad de mapas, por ejemplo, una ruta diferenciable o suave (dependiendo del tipo de estructura diferencial aplicada). Los isomorfismos en este caso son biyecciones con el grado de diferenciabilidad elegido.

En la dirección opuesta a la abstracción, podemos aplicar una estructura de campo compatible al plano geométrico, dando lugar al plano complejo y al área principal de análisis complejo. El campo complejo tiene solo dos isomorfismos que dejan fija la línea real, la identidad y la conjugación.

De la misma manera que en el caso real, el plano también puede verse como la variedad compleja más simple, unidimensional (sobre los números complejos), a veces llamada línea compleja. Sin embargo, este punto de vista contrasta marcadamente con el caso del plano como una variedad real bidimensional. Los isomorfismos son todas biyecciones conformes del plano complejo, pero las únicas posibilidades son mapas que corresponden a la composición de una multiplicación por un número complejo y una traslación.

Además, la geometría euclidiana (que tiene curvatura cero en todas partes) no es la única geometría que puede tener el plano. Al plano se le puede dar una geometría esférica utilizando la proyección estereográfica. Esto se puede pensar en colocar una esfera en el plano (como una bola en el suelo), quitar el punto superior y proyectar la esfera en el plano desde este punto). Esta es una de las proyecciones que se pueden utilizar para hacer un mapa plano de parte de la superficie de la Tierra. La geometría resultante tiene una curvatura positiva constante.

Alternativamente, al plano también se le puede dar una métrica que le dé una curvatura negativa constante dando el plano hiperbólico. La última posibilidad encuentra una aplicación en la teoría de la relatividad especial en el caso simplificado donde hay dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal. (El plano hiperbólico es una hipersuperficie temporal en el espacio tridimensional de Minkowski).

La compactificación de un punto del plano es homeomorfa a una esfera (ver proyección estereográfica) el disco abierto es homeomorfa a una esfera con el "polo norte" que falta, agregando que el punto completa la esfera (compacta). El resultado de esta compactación es una variedad denominada esfera de Riemann o línea proyectiva compleja. La proyección desde el plano euclidiano a una esfera sin punto es un difeomorfismo e incluso un mapa conforme.

El avión en sí es homeomórfico (y difeomórfico) a un disco abierto. Para el plano hiperbólico tal difeomorfismo es conforme, pero para el plano euclidiano no lo es.


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1 respuesta 1

WLOG podemos trasladar cosas para que la base de nuestro prisma rectangular tenga vértice $ (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (a, b, 0) $ y $ (0, 0, 0) $ es el vértice con la coordenada $ z $ más pequeña donde el plano corta el prisma rectangular.

Además, WLOG podemos asumir nuestro vector normal $ n = begin p q r end$ tiene longitud $ | n | = 1 $.

Con esta configuración, todo lo que tenemos que hacer es encontrar los otros 2 vértices $ (a, 0, z_1), (0, b, z_2) $ donde el plano cortó el prisma rectangular. Dado que la sección transversal es un paralelogramo, el área es simplemente la longitud del producto transversal de los vectores de posición de los 2 vértices.

Esta es la parte de la pista. Puede dejar de leer ahora e intentar resolverlo usted mismo.

Dado que $ gamma $ es el ángulo entre $ k = begin 0 0 1 end$ y $ n $, por la propiedad del producto escalar, $ cos gamma = | k || n | cos gamma = k cdot n = begin 0 0 1 end cdot begin p q r end = r $

De ahora en adelante, podemos escribir $ n = begin p q cos gamma end$

Por lo tanto $ p ^ 2 + q ^ 2 + cos ^ 2 gamma = 1 $ y por lo tanto $ p ^ 2 + q ^ 2 = 1 - cos ^ 2 gamma = sin ^ 2 gamma $

Dado que el plano cortó el prisma rectangular en $ (0, 0, 0) $, pasa por el origen. Por tanto, podemos escribir su ecuación como $ begin p q cos gamma end cdot begin x y z end = 0 $ que es lo mismo que $ px + qy + ( cos gamma) z = 0 $.

Cuando el plano atraviesa el prisma rectangular en el vértice $ (a, 0, z_1) $, el vértice satisface la ecuación del plano. Por lo tanto, $ p a + q 0 + ( cos gamma) z_1 = 0 $ y por lo tanto $ z_1 = - frac< cos gamma> $

De manera similar, en el vértice $ (0, b, z_2) $, tenemos $ p 0 + q b + ( cos gamma) z_2 = 0 $ y por lo tanto $ z_2 = - frac< cos gamma> $

Con estas dos coordenadas $ z $, ahora sabemos que los vectores de posición de los 2 vértices son $ begin una 0 - frac < cos gamma> end$ y $ begin 0 b - frac < cos gamma> end$ .

Dado que $ (0, 0, 0) $ es el vértice con la coordenada $ z $ más pequeña donde el plano corta el prisma rectangular, estos 2 vectores de posición son los lados del paralelogramo.


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Estos libros son excelentes para aprender conceptos y para practicar. Algunos temas están fuera del alcance de JEE. Es un libro muy recomendado para aquellos aspirantes a JEE que se están preparando por sí mismos o que enfrentan dificultades para crear un enfoque de resolución de problemas hacia el tema.

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Trigonometría plana

Sidney Luxton Loney, M.A. (16 de marzo de 1860 - 16 de mayo de 1939) fue profesor de matemáticas en el Royal Holloway College, Egham, Surrey, y miembro del Sidney Sussex College, Cambridge. Es autor de varios textos de matemáticas, algunos de los cuales se han reimpreso en numerosas ocasiones. Se le conoce como una influencia temprana en Srinivasa Ramanujan.

Loney se educó en Maidstone Grammar School, en Tonbridge y en Sidney Luxton Loney, MA (16 de marzo de 1860 - 16 de mayo de 1939) fue profesor de matemáticas en el Royal Holloway College, Egham, Surrey, y miembro del Sidney Sussex College, Cambridge. . Es autor de varios textos de matemáticas, algunos de los cuales se han reimpreso en numerosas ocasiones. Se le conoce como una de las primeras influencias de Srinivasa Ramanujan.

Loney se educó en Maidstone Grammar School, en Tonbridge y en Sidney Sussex College, Cambridge, donde se graduó como tercer Wrangler en 1882.


Contenido

En matemáticas, un avión es un objeto bidimensional fundamental. Intuitivamente, parece una hoja de papel plana infinita. Hay varias definiciones del avión. Son equivalentes en el sentido de la geometría euclidiana, pero pueden extenderse de diferentes formas para definir objetos en otras áreas de las matemáticas. La única figura bidimensional en nuestro mundo tridimensional es una sombra.

En algunas áreas de las matemáticas, como la geometría plana o la infografía 2D, todo el espacio en el que se realiza el trabajo es un solo plano. En tales situaciones, se usa el artículo definido: el avión. Muchas tareas fundamentales en geometría, trigonometría y graficación se realizan en el espacio bidimensional, o en otras palabras, en el plano.

Un plano es una superficie tal que, dados tres puntos distintos en la superficie, la superficie también contiene todas las líneas rectas que pasan a través de dos de ellos. Se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas en un plano dado para etiquetar cada punto en él con un par ordenado único, que se compone de dos números y es la coordenada del punto.

Dentro de cualquier espacio euclidiano, un plano está determinado de forma única por cualquiera de las siguientes combinaciones:


3 respuestas 3

Comencé mi carrera como arqueólogo antes de terminar en matemáticas. Digo esto para enfatizar que estoy interesado en tratar de entender cómo pensaba la gente en el pasado y mdash, el "texto" habitual que lee un arqueólogo es la colección de artefactos que quedan atrás, pero también hay un campo muy activo llamado Arqueología Histórica. que busca asociar los registros históricos con una "verdad fundamental". Desde el punto de vista de un "arqueólogo" (o historiador) de las matemáticas, creo que textos como el de Loney pueden ser interesantes y vale la pena leerlos. Sin embargo, recomendaría en contra usando tal texto en una clase introductoria.

Los inconvenientes que mencionas son importantes, pero hay otro par de problemas que deberían hacer que te detengas más:

Mirando la tabla de contenido, parece que gran parte de la atención se centra en la computación. Por ejemplo, a partir de la página 106, se dedican muchas páginas a calcular los senos y cosenos de los ángulos utilizando las fórmulas de suma de ángulos y de medio ángulo. Mi experiencia es que la exposición moderna se preocupa más por las fórmulas en sí mismas (ya que éstas se repiten en el cálculo) y en gran medida elude el cálculo explícito. Tal cálculo es, quizás, útil como ejercicio, pero un CAS normalmente puede hacer el trabajo más rápido y con mayor precisión. En general, mi preferencia sería utilizar un libro que ponga mucho menos énfasis en la computación o que enfatice la forma en que las computadoras modernas pueden ayudar a la computación.

Hay muchos temas en ese texto que son algo arcaicos o que son totalmente inapropiados para una clase moderna de precálculo. Por ejemplo, la mayoría de los capítulos X y XI no son relevantes en un aula moderna (no hay razón para que se enseñe a los estudiantes a leer una tabla de registro, por ejemplo). Gran parte del Capítulo XV parece centrarse en aspectos de la geometría que, para bien o para mal, no suelen formar parte del plan de estudios de precálculo estándar de EE. UU. cualquier plan de estudios estándar antes de los cursos de la división superior en geometría (o, tal vez, cursos de preparación para competencias de matemáticas)). Estos temas ciertamente tienen cierto interés, pero si el objetivo es preparar a los estudiantes para un plan de estudios estándar de cálculo, entonces no les hacen ningún favor.

Y luego está la Parte II. Casi nada en la Parte II es parte del plan de estudios de precálculo (y nada en la Parte II se menciona en la descripción del curso en la pregunta). Comienza con representaciones en serie del logaritmo y exponencial (aunque usa notación que es difícil de analizar según los estándares modernos y mdash, el factorial funky y la falta de notación Sigma, por ejemplo), avanza a un par de límites, luego salta al análisis complejo. En la mayoría de las aulas modernas, toda la segunda mitad del libro se cubre con cursos de cálculo y análisis complejo. No pertenece a una clase de precálculo.

El hecho de que la Parte II sea inapropiada para una clase de precálculo no es un gran problema y mdashLa Parte I ciertamente contiene suficiente material para un semestre, pero creo que podría ser mejor seleccionar un libro que esté más enfocado en los temas que realmente necesitas cubrir. .

En la pregunta, se observa que el lenguaje "puede sonar arcaico para algunos estudiantes". Creo que esto no capta la magnitud del problema y mdash Creo que es probable que los estudiantes reboten duro de un tema que se presenta con una notación desconocida (y, por cierto, una notación desconocida que nunca volverán a ver) escrito en una forma de inglés que es claramente anticuada. Su composición tipográfica inconsistente tampoco favorece al libro (pero ahora estoy siendo malicioso).

Estoy luchando por encontrar una analogía que no sea hiperbólica, pero creo que lo siguiente funciona: no se enseña ruso a los estudiantes pidiéndoles que lean Война и Мир (Guerra y paz) o Евгений Онегин (una novela de Pushkin) en el lenguaje original anterior a la reforma desde el principio. Haga que sus alumnos lean algo del siglo XX o XXI, primero (tal vez algo como Один День Ивана Денисовича& mdash (el lenguaje es moderno y bastante accesible, y sigue siendo un clásico). Cualquiera que quiera convertirse en un estudioso de la literatura rusa probablemente debería familiarizarse con las obras anteriores a la reforma, pero ese no es el lugar para comenzar. Empiece con el ruso moderno y vuelva a trabajar.

Del mismo modo, los estudiantes de matemáticas deben comenzar con una presentación moderna y luego, si quieren estudiar la historia de las matemáticas, comenzar a tratar de abordar los clásicos (suponiendo que Loney es, de hecho, un "clásico" y no simplemente "viejo"). .

Básicamente, mi recomendación sería buscar otro texto. No creo que Loney sea apropiado para una audiencia introductoria moderna. En el mejor de los casos, puede usarlo como complemento del curso (por ejemplo, una de mis críticas del texto anterior es que si se enfatiza demasiado el cálculo, al menos según los estándares modernos, sin embargo, parece haber muchos ejercicios en el texto , que puede resultar útil). Además, no hay nada de malo en leer un libro como el de Loney e inspirarme en él (personalmente, he obtenido muchos kilómetros en mis clases de precálculo de Gelfand's Método de coordenadas y Klein Matemáticas elementales desde un punto de vista superior).

Desafortunadamente, tampoco tengo muchos consejos sobre qué libro debería utilizar. Hay muchos libros con títulos como Precálculo (¡con trigonometría!) y Trigonometría para el estudiante de precálculo Y qué no. La mayoría de estos libros tienen 1,000 páginas, pesan 10 libras y cuestan $ 200 +. Son buenos topes de puertas, pero por lo demás son demasiado diluidos y anchos para ser de mucha utilidad. Tampoco soy un gran fan de la Contornos de Schaum como textos del curso. Son útiles para los ejercicios, pero dejan mucho que desear. vis-à-vis exposición (por supuesto, ese es el punto y mdash, son contornos).

¿Quizás considerar uno de los textos de código abierto que existen? Por ejemplo, OpenStax Álgebra y trigonometría o la biblioteca abierta de libros de texto Trigonometría. Sospecho que estos libros sufrirán muchos de los mismos problemas que los tomos de más de 200 dólares, pero al menos son gratuitos. :


Ver el vídeo: APRENDER TRIGONOMETRÍA DESDE CERO. Curso de trigonometría (Noviembre 2021).