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1.4: Propiedades del álgebra


En álgebra, a menudo necesitaremos simplificar una expresión. Hay tres formas básicas de simplificación que discutiremos en esta sección.

Nota mundial

El término "Álgebra" proviene de la palabra árabe al-jabr que significa "reunión". Fue utilizado por primera vez en Irak en 830 d.C. por Mohammad ibn-Musa al-Khwarizmi.

Definiciones

Una expresión algebraica consta de coeficientes, variables y términos. Dada una expresión algebraica, un

  • coeficiente es el número delante de la variable.
  • variable es una letra que representa cualquier número.
  • término es un producto de un coeficiente y una (s) variable (s).

Por ejemplo,

[t qquad 2x qquad 3st qquad 7x ^ 2 qquad 5ab ^ 3c nonumber ]

son todos ejemplos de términos porque cada uno es un producto de un coeficiente y una (s) variable (s).

Evaluar expresiones

La primera forma de simplificar expresiones es evaluar expresiones. Dados valores particulares para cada variable, podemos simplificar la expresión reemplazando las variables con sus valores correspondientes.

[prpalg1] [0.15cm] Evalúe (p (q + 6) ) cuando (p = 3 ) y (q = 5 ).

[ begin {alineado} p (q + 6) & & tmop {Reemplazar} p tmop {con} 3 tmop {y} q tmop {con} 5 (3) ((5) + 6 ) & & tmop {Evaluar} tmop {paréntesis} (3) (11) & & tmop {Multiplicar} 33 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Siempre que reemplacemos una variable, colocaremos el nuevo número entre paréntesis. Observe que el 3 y el 5 en el ejemplo [prpalg1] están entre paréntesis. Esto es para preservar las operaciones que a veces se pierden en un simple reemplazo. A veces, los paréntesis no marcarán la diferencia, pero es un buen hábito usarlos siempre para evitar posibles errores aritméticos en el futuro.

Evalúa (x + z x (3 - z) left ( dfrac {x} {3} right) ) cuando (x = - 6 ) y (z = - 2 ).

[ begin {alineado} x + zx (3 - z) left ( dfrac {x} {3} right) & & tmop {Reemplazar} x tmop {con} 6 tmop {y} z tmop {con} 2 && (- 6) + (- 2) (- 6) (3 - (- 2)) left ( frac {(- 6)} {3} right) & & tmop {Evaluar} tmop {paréntesis} && - 6 + (5) (- 2) & & tmop {Multiplicar} tmop {izquierda} tmop {a} tmop {derecha} - 6 + {12 (5)} (- 2) & & tmop {Multiplicar} tmop {izquierda} tmop {to} tmop {derecha} - 6 + {60 (- 2)} & & tmop {Multiplicar} {- 6 - 120} & & tmop {Restar} - 126 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Términos similares

Es común en el estudio de Álgebra que se desconozcan los valores de las variables. En este caso, simplificamos combinando términos similares.

Dos términos son si la (s) variable (s) base (s) y el exponente de cada variable son idénticos.
Por ejemplo, (3 x ^ 2 y tmop {y} - 7 x ^ 2 y ) son términos semejantes porque ambos contienen las mismas variables base, (x ) y (y ), y los exponentes en (x ) (la (x ) se eleva al cuadrado en ambos términos) y (y ) son iguales.

Si dos términos son términos similares, sumamos (o restamos) el, luego mantenemos las variables (y exponentes en la variable correspondiente) iguales.

[0,15 cm] Simplifica: (5 x - 2 y - 8 x + 7 y )

[ begin {alineado} 5 x - 2 y - 8 x + 7 y & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} 5 x - 8 x tmop {y} - 2 y + 7 y - 3 x + 5 y & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

[prealg2] Simplificar: (8 x ^ 2-3 x + 7-2 x ^ 2 + 4 x - 3 )

[ begin {alineado} 8 x ^ 2 - 3 x + 7 - 2 x ^ 2 + 4 x - 3 & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} 8 x ^ 2 - 2 x ^ 2 tmop {y} - 3 x + 4 x tmop {y} && 7 - 3 6 x ^ 2 + x + 4 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Cuando combinamos términos semejantes, interpretamos los signos de resta como parte del siguiente término. Por lo tanto, si vemos un signo de resta, tratamos el siguiente término como un término negativo.
Observe que cuando escribimos el resultado simplificado, es una práctica común escribir la expresión en forma estándar, términos escritos con exponentes descendentes. Por ejemplo, mirando el resultado en el ejemplo [prealg2], escribimos (6 x ^ 2 + x + 4 ), donde el término (x ^ 2 ) se escribe primero ya que es el exponente más grande y luego el (x ) término. Siempre escribimos el término con solo el coeficiente al final, por ejemplo, (4 ).

Distribución

El método final para simplificar expresiones algebraicas es distribución. Muchas veces se nos dan expresiones algebraicas con conjuntos de paréntesis y términos directamente delante de las expresiones (como producto). Usando el Propiedad distributiva, podemos reescribir la expresión sin paréntesis.

El es un producto entre un término y una suma o diferencia de dos o más términos: [a (b + d) = a cdot b + a cdot d ]

[0,15 cm] Simplificar: (4 (2 x - 7) )

[ begin {alineado} 4 (2 x - 7) & & tmop {Multiplica} tmop {cada} tmop {término} tmop {por} 4 textcolor {azul} {4} cdot 2x - textcolor {azul} {4} cdot 7 && text {Simplificar} 8 x - 28 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Simplificar: (- 7 (5 x - 6) )

[ begin {alineado} - 7 (5 x - 6) & & tmop {Multiplica} tmop {cada} tmop {término} tmop {por} - 7 textcolor {azul} {(- 7 )} cdot 5x - textcolor {azul} {(- 7)} cdot 6 && text {Simplificar} - 35x + 42 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

En el ejemplo anterior, usamos el hecho de que el signo está unido al número, es decir, tratamos el (- 6 ) como un número negativo: ((- 7) (- 6) = 42 ), a numero positivo. El error más común al usar la propiedad distributiva es un error de signo (negativos). ¡Ten mucho cuidado con tus carteles!

Es posible distribuir un negativo entre paréntesis. Cuando hay un negativo delante del paréntesis, podemos pensar en el negativo como un (- 1 ). No siempre lo escribimos, pero sabemos que está ahí. Luego distribuimos (- 1 ) como de costumbre.

Simplifica (- (4 x - 5 y + 6) )

[ begin {alineado} - (4 x - 5 y + 6) & & tmop {Negativo} tmop {can} tmop {be} tmop {pensamiento} tmop {of} tmop {as} - 1 textcolor {azul} {- 1} (4 x - 5 y + 6) & & tmop {Multiplica} tmop {cada} tmop {término} tmop {por} textcolor {azul} {- 1} textcolor {azul} {(- 1)} 4x - textcolor {azul} {(- 1)} 5y + textcolor {azul} {(- 1)} 6 && text {Simplificar} textcolor {azul} {-} 4 x textcolor {azul} {+} 5 y textcolor {azul} {-} 6 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Poniendolo todo junto

La distribución entre paréntesis y la combinación de términos semejantes se pueden combinar en un solo problema. El orden de las operaciones implica multiplicar (distribuir) primero, luego sumar o restar (combinar términos semejantes). Por lo tanto, primero distribuimos y luego combinamos términos semejantes.

[0,15 cm] Simplifica: (5 + 3 (2 x - 4) )

[ begin {alineado} 5 + 3 (2 x - 4) & & tmop {Distribuir} 5 + 6 x - 12 & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} - 7 + 6 x & & text {Reescribir en forma estándar} 6x - 7 && text {Resultado} end {alineado} ]

Simplificar: (3 x - 2 (4 x - 5) )

[ begin {alineado} 3 x - 2 (4 x - 5) & & tmop {Distribuir} 3 x - 8 x + 10 & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} - 5 x + 10 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Simplificar: (2 (5 x - 8) - 6 (4 x + 3) )

[ begin {alineado} 2 (5 x - 8) - 6 (4 x + 3) & & tmop {Distribuir} 10 x - 16 - 24 x - 18 & & tmop {Combinar} tmop { como} tmop {términos} - 14 x - 34 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]

Simplificar: (4 (3 x - 8) - (2 x - 7) )

[ begin {align} 4 (3 x - 8) - (2 x - 7) & & text {Trate el negativo como a} textcolor {blue} {- 1} 4 (3 x - 8) textcolor {azul} {- 1} (2 x - 7) & & tmop {Distribuir} 12 x - 32 - 2 x + 7 & & tmop {Combinar} tmop {como} tmop {términos} 10 x - 25 & & tmop {Resultado} end {alineado} ]


Propiedades algebraicas de los números reales

Las propiedades algebraicas básicas de los números reales a, byc son:

1. Cierre: a + by ab son números reales
2. Conmutativo: a + b = b + a, ab = ba
3. Asociativo: (a + b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc)
4. Distributivo: (a + b) c = ac + bc
5. Identidad: a + 0 = 0 + a = a
6. Inversa: a + (-a) = 0, a (1 / a) = 1
7. Cancelación: si a + x = a + y, entonces x = y
8. Factor cero: a0 = 0a = 0
9. Negación: - (- a) = a, (-a) b = a (-b) = - (ab), (-a) (- b) = ab


Resolver desigualdades en una variable algebraicamente

Como han mostrado los ejemplos, podemos realizar las mismas operaciones en ambos lados de una desigualdad, al igual que hacemos con las ecuaciones, combinamos términos semejantes y realizamos operaciones. Para resolver, aislamos la variable.

Ejemplo 5: Resolver una desigualdad algebraicamente

Resuelve la desigualdad: [látex] 13 - 7x ge 10x - 4 [/ látex].

Solución

Resolver esta desigualdad es similar a resolver una ecuación hasta el último paso.

El conjunto de soluciones viene dado por el intervalo [latex] left (- infty, 1 right] [/ latex], o todos los números reales menores que 1 inclusive.

Pruébalo 5

Resuelve la desigualdad y escribe la respuesta usando notación de intervalo: [látex] -x + 4 & lt frac <1> <2> x + 1 [/ látex].

Ejemplo 6: Resolver una desigualdad con fracciones

Resuelve la siguiente desigualdad y escribe la respuesta en notación de intervalo: [látex] - frac <3> <4> x ge - frac <5> <8> + frac <2> <3> x [/ látex] .

Solución

Comenzamos a resolver de la misma manera que lo hacemos cuando resolvemos una ecuación.

El conjunto de soluciones es el intervalo [latex] left (- infty, frac <15> <34> right] [/ latex].

Pruébalo 6

Resuelve la desigualdad y escribe la respuesta en notación de intervalo: [látex] - frac <5> <6> x le frac <3> <4> + frac <8> <3> x [/ látex].


Propiedades de los fundamentos matemáticos de cero y uno

Cero (0) y uno (1) son números muy especiales. Poseen las importantes propiedades que se indican a continuación:

Propiedad de suma de cero

Sumar 0 a un número deja lo mismo. 0 se llama identidad aditiva y la propiedad se llama propiedad de identidad aditiva.

Propiedad de multiplicación de cero

Cero multiplicado por cualquier número es igual a cero. Lo que significa que multiplicar cualquier número por 0 da 0.

Propiedad de multiplicación de uno

Multiplicar cualquier número por 1 lo deja sin cambios. 1 se llama identidad multiplicativa, por lo tanto, la propiedad se llama identidad multiplicativa.

Exponentes de uno

El número uno elevado a cualquier potencia es siempre uno.

Exponente uno

Cualquier número elevado al poder uno permanece sin cambios.

Exponentes de cero

El número cero elevado a cualquier potencia sigue siendo cero.

Exponente cero

Cualquier número elevado a cero es uno.

Cero como numerador

Cero dividido por cualquier número distinto de cero es cero.

Cero como denominador

Cualquier división por cero no está definida

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Propiedades de las relaciones

Una relación binaria (R ) definida en un conjunto (A ) puede tener las siguientes propiedades:

  • Reflexividad
  • Irreflexividad
  • Simetría
  • Antisimetría
  • Asimetría
  • Transitividad

A continuación, analizaremos estas propiedades con más detalle.

Relación reflexiva

Una relación binaria (R ) se llama reflexiva si y solo si ( forall a in A, ) (aRa. ) Entonces, una relación (R ) es reflexiva si relaciona todos los elementos de (A ) a sí mismo.

Ejemplos de relaciones reflexivas:

  1. La relación ( ge ) (& # 8220 es mayor o igual que & # 8221) en el conjunto de números reales.
  2. Similitud de triángulos.
  3. La relación ( derecha), izquierda (<1,2> ​​ derecha),> derecha.> ) (< izquierda. < kern-2pt izquierda (<2,2> derecha), izquierda (< 3,3> right), left (<3,1> right)> right >> ) en el conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

Las relaciones reflexivas siempre están representadas por una matriz que tiene (1 ) en la diagonal principal. El dígrafo de una relación reflexiva tiene un bucle de cada nodo a sí mismo.

Relación irreflexiva

Una relación binaria (R ) en un conjunto (A ) se llama irreflexiva si (aRa ) no se cumple para cualquier (a en A. ) Esto significa que no hay ningún elemento en (R ) que está relacionado consigo mismo.

Ejemplos de relaciones irreflexivas:

  1. La relación ( lt ) (& # 8220 es menor que & # 8221) en el conjunto de números reales.
  2. Relación de una persona siendo hijo de otra persona.
  3. La relación ( derecha), izquierda (<2,1> derecha),> derecha.> ) (< izquierda. < kern-2pt izquierda (<1,3> derecha), izquierda (< 2,3> right), left (<3,1> right)> right >> ) en el conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

La matriz de una relación irreflexiva tiene todo (0 & # 8217 text) en su diagonal principal. El gráfico dirigido para la relación no tiene bucles.

Relación simétrica

Una relación binaria (R ) en un conjunto (A ) se llama simétrica si para todo (a, b en A ) se sostiene que si (aRb ) entonces (bRa. ) En otros palabras, el orden relativo de los componentes en un par ordenado no importa & # 8211 si una relación binaria contiene una ( left ( right) ) elemento, también incluirá el elemento simétrico ( left ( derecho).)

Ejemplos de relaciones simétricas:

  1. La relación (= ) (& # 8220 es igual a & # 8221) en el conjunto de números reales.
  2. La relación & # 8220 es perpendicular a & # 8221 en el conjunto de líneas rectas en un plano.
  3. La relación ( derecha), izquierda (<1,2> ​​ derecha),> derecha.> ) (< izquierda. < kern-2pt izquierda (<2,1> derecha), izquierda (< 1,3> right), left (<3,1> right)> right >> ) en el conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

Para una relación simétrica, la matriz lógica (M ) es simétrica con respecto a la diagonal principal. La transpuesta de la matriz (M ^ T ) es siempre igual a la matriz original (M. ) En un dígrafo de una relación simétrica, para cada borde entre nodos distintos, hay un borde en la dirección opuesta.

Relación antisimétrica

Se dice que una relación binaria (R ) en un conjunto (A ) es antisimétrica si no hay un par de elementos distintos de (A ) cada uno de los cuales está relacionado por (R ) con el otro. Entonces, una relación antisimétrica (R ) puede incluir ambos pares ordenados ( left ( derecha e izquierda( right) ) si y solo si (a = b. )

Ejemplos de relaciones antisimétricas:

  1. La relación ( ge ) (& # 8220 es mayor o igual que & # 8221) en el conjunto de números reales.
  2. La relación de subconjunto ( subseteq ) en un conjunto de potencia.
  3. La relación ( derecha), izquierda (<2,1> derecha),> derecha.> ) (< izquierda. < kern-2pt izquierda (<2,3> derecha), izquierda (< 3,1> derecha), izquierda (<3,3> derecha)> derecha >> ) en el conjunto (A = izquierda <<1,2,3> derecha >. )

En una matriz (M = left [<<>>> right] ) que representa una relación antisimétrica (R, ) todos los elementos simétricos sobre la diagonal principal no son iguales entre sí: (<>> ne <>> ) para (i ne j. ) El dígrafo de una relación antisimétrica puede tener bucles, sin embargo, las conexiones entre dos vértices distintos solo pueden ir en una dirección.

Relación asimétrica

Una relación binaria asimétrica es similar a una relación antisimétrica. La diferencia es que una relación asimétrica (R ) nunca tiene ambos elementos (aRb ) y (bRa ) incluso si (a = b. )

Toda relación asimétrica también es antisimétrica. Lo contrario no es cierto. Si una relación antisimétrica contiene un elemento de tipo ( left ( right), ) no puede ser asimétrico. Por tanto, una relación binaria (R ) es asimétrica si y sólo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva.

Ejemplos de relaciones asimétricas:

  1. La relación ( gt ) (& # 8220 es mayor que & # 8221) en el conjunto de números reales.
  2. La relación familiar & # 8220 es padre de & # 8221.
  3. La relación (R = left << left (<2,1> right), left (<2,3> right), left (<3,1> right)> right > ) en el conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

La matriz para una relación asimétrica no es simétrica con respecto a la diagonal principal y no contiene elementos diagonales. El dígrafo de una relación asimétrica no debe tener bucles ni aristas entre vértices distintos en ambas direcciones.

Relación transitiva

Una relación binaria (R ) en un conjunto (A ) se llama transitiva si para todo (a, b, c en A ) se sostiene que si (aRb ) y (bRc, ) entonces (aRc. )

Esta condición debe ser válida para todos los triples (a, b, c ) del conjunto. Si existe algún triple (a, b, c en A ) tal que ( left ( right) in R ) y ( left ( right) in R, ) pero ( left ( right) notin R, ) entonces la relación (R ) no es transitiva.

Ejemplos de relaciones transitivas:

  1. La relación ( gt ) (& # 8220 es mayor que & # 8221) en el conjunto de números reales.
  2. La relación & # 8220 es paralela a & # 8221 en el conjunto de líneas rectas.
  3. La relación ( derecha), izquierda (<1,3> derecha),> derecha.> ) (< izquierda. < kern-2pt izquierda (<2,2> derecha), izquierda (< 2,3> right), left (<3,3> right)> right >> ) en el conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

En una matriz (M = left [<<>>> right] ) de una relación transitiva (R, ) para cada par de ( left (derecha e izquierda( right) - ) entradas con valor (1 ) existe el ( left ( right) - ) entrada con valor (1. ) La presencia de (1 & # 8217 text) en la diagonal principal no viola la transitividad.


Propiedades de los números reales

Hay una serie de propiedades que se pueden utilizar para ayudarnos a trabajar con números reales.

Recuerde que los números reales se componen de todos los números racionales e irracionales. Las propiedades nos ayudan a sumar, restar, multiplicar, dividir y varias otras operaciones matemáticas.

Aquí hay un breve vistazo a varias de las propiedades:

Conmutativo: a + b = b + a & ab = ba

Esta propiedad tiene que ver con el pedido. Si cambia el orden de los números al sumar o multiplicar, la respuesta no es casual.

Ejemplos: 3 x 4 = 4 x 3 y 3 + 4 = 4 + 3
12 = 12 7 = 7

a (bc) = (ab) c & a + (b + c) = (a + b) + c

Esta propiedad tiene que ver con los grupos. Observe que la ubicación de los paréntesis se puede cambiar y la respuesta sigue siendo la misma.

Ejemplos: (5 + 6) + 3 = 5 + (6 + 3) y (3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

Distributivo: a (b + c) = ab + ac

Esta propiedad se trata de tratar con un número fuera del paréntesis cuando hay una suma o diferencia dentro. Vea cómo se puede usar el número de afuera.

Ejemplos: 4 (3 + 5) = 4 (3) + 4 (5) o 4 (8 - 7) = 4 (8) - 4 (7)

Propiedad de multiplicación del cero: m * 0 = 0

¿Has notado alguna vez esta pequeña y práctica propiedad? Cada vez que multiplicas algo por cero, obtienes cero. No importa cuál sea el número real, si multiplicas por cero, ¡obtienes cero!

Ejemplos: 4 x 0 = 0, 15 x 0 = 0, 1 1/2 x 0 = 0, -32 x 0 = 0

Propiedad de identidad: a + 0 = a & a * 1 = a

Además, esta propiedad dice que puede sumar 0 y no cambiar el valor del número. Entonces 4 + 0 = 4 o -13 + 0 = -13.

¡La identidad aditiva es 0!

Para la multiplicación, esta propiedad dice que puedes multiplicar por 1 y no cambiar el valor del número. Entonces 4 x 1 = 4 y -13 x 1 = -13.

¡La identidad multiplicativa es 1!

Inversa: a + (-a) = 0 y a * = 1
La propiedad inversa se trata de deshacer.

Para "deshacer" puede agregar el aditivo inverso. En otras palabras, cuando sumas un número y su opuesto o inverso aditivo, obtienes 0.

Ejemplos: 4 + (-4) = 0 o -5,8 + 5,8 = 0

También puede multiplicar por el recíproco o multiplicativo inverso para obtener 1.

Ejemplos: 8 x = 1 o -15 x = 1

* Tenga en cuenta que dividir por 0 no está definido.

Esta propiedad tiene que ver con las respuestas que obtiene. Si hace algo con dos números reales y siempre obtiene una respuesta de número real, podría decir que los números reales están cerrados bajo esa operación.

Si suma dos números reales cualesquiera, obtendrá una suma de números reales. Por lo tanto, los números reales se cierran bajo la suma.

Además, si multiplica dos números reales cualesquiera, obtendrá un producto de números reales. Por lo tanto, los números reales se cierran mediante multiplicación.

El uso de estas propiedades lo ayudará a realizar y simplificar muchas otras operaciones o problemas matemáticos más complejos. Úselos para ayudarlo a aprender sus operaciones matemáticas aún más rápido.

Para vincular a esto Propiedades de los números reales página, copie el siguiente código en su sitio:


Propiedades logarítmicas

Tenga en cuenta que lo anterior no es una definición, simplemente una descripción concisa.

Así como la resta es la operación inversa de la suma, y ​​sacar una raíz cuadrada es la operación inversa del cuadrado, la exponenciación y los logaritmos son operaciones inversas. Encontrar un antilogaritmo es la operación inversa de encontrar un registro, por lo que es otro nombre para exponenciación. Sin embargo, históricamente, esto se hacía como una búsqueda de tablas. Se dio algo de historia antes y la definición formal se repite a continuación, esta vez con restricciones.

y = log b x si y solo si b y = x,
donde x & # 62 0, b & # 62 0 y b 1.

Como se señaló anteriormente, la base puede ser cualquier número positivo (excepto 1). Sin embargo, dos opciones son las más habituales: 10 ye = 2,718281828. Los registros en la base 10 a menudo se denominan registros comunes, mientras que los registros en la base e se denominan a menudo registros naturales. Los registros a las bases de 10 ye ahora son bastante estándar en la mayoría de las calculadoras. A menudo, cuando se toma un registro, la base es arbitraria y no es necesario especificarla. Sin embargo, en otras ocasiones es necesario y debe asumirse o especificarse.

Solo en el nivel de la escuela secundaria, log x significa consistentemente log 10 x.
En la universidad, especialmente en matemáticas y física, log x significa consistentemente log e x.
Una notación popular (despreciada por algunos) es: ln x significa log e x.

Para calcular registros a otras bases, se debe usar la regla de cambio de base a continuación (# 4). Es solo una multiplicación por una constante (1 / log a b).

  1. log b (xy) = log b x + log b y.
  2. log b (x / y) = log b x - log b y.
  3. log b (x n) = n log b x. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  4. log b x = log a x / log a b. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160

Todas estas cuatro propiedades básicas se derivan directamente del hecho de que los registros son exponentes. En palabras, los tres primeros se pueden recordar como: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre los logaritmos del numerador y el demoninador. El logaritmo de una potencia es igual a la potencia multiplicada por el logaritmo de la base.

Las propiedades adicionales, algunas obvias, otras no tan obvias se enumeran a continuación como referencia. El número 6 se llama propiedad recíproca.

  1. log b 1 = 0. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  2. log b b = 1. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  3. log b b 2 = 2. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  4. log b b x = x. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  5. b log b x = x. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  6. log a b = 1 / log b a.
La invención de los registros fue seguida rápidamente por la invención de la regla de cálculo. Las reglas de cálculo simplifican la multiplicación y la división al convertir estas operaciones en suma y resta. Esto se hace colocando los números en una escala logarítmica. A continuación se muestran los registros de algunos pequeños enteros.
norte log 10 n iniciar sesión
10.0000.000
20.3010.693
30.4771.099
40.6021.386
50.6991.609
60.7781.792
70.8451.946
80.9032.079
90.9542.197
101.0002.303

A partir de esto, podemos verificar fácilmente propiedades tales como: log 10 = log 2 + log 5 y log 4 = 2 log 2. Estas son verdaderas para cualquier base. De hecho, el resultado útil de 10 3 = 1000 1024 = 2 10 puede verse fácilmente como 10 log 10 & # 1602 3.

    Alinee el 1 de la izquierda en la escala D con el 2 en la escala C. Observe el número por encima de 4 de la escala D en la escala C. Dado que estos números se presentan en una escala logorítmica, ha demostrado que log 2 + log 4 = log (2 & # 2154) = log 8. Encierre en un círculo ese 8.

Normalmente hay un cursor (el significado original, no el tipo que parpadea en la pantalla de la computadora) presente que permite obtener aproximadamente tres lugares decimales de precisión, de ahí el término precisión de la regla de cálculo.

A continuación, se presenta un problema interesante que une muy claramente la fórmula cuadrática, los logaritmos y los exponentes. log (2 x +2) + log x - log (12) = 0 Simplifica los logaritmos combinándolos.
log (2 x 2 + 2 x) - log (12) = 0
log ((2x 2 + 2x) / 12) = 0
Después de dividir por 2, exponencia ambos lados (la base b es arbitraria, ya que no se especificó anteriormente).
(x 2 + x) / 6 = b 0
(x 2 + x) / 6 = 1
x 2 + x = 6
x 2 + x - 6 = 0
(x + 3) (x - 2) = 0 x

Espacio en blanco, por lo que cuando se imprime con Mozilla (vaya, sin casillas) está detrás de la regla de cálculo.

Sin embargo, x -3 ya que el dominio de log son solo los reales positivos. (b x nunca puede ser un número negativo con b> 0).

El siguiente ejemplo (6.11 # 51) combina logaritmos con ecuaciones simultáneas. También es muy conveniente introducir el concepto de sustitución, tan útil en cálculo.

log 9 x + log y 8 = 2. & # 160 & # 160 & # 160
log x 9 + log 8 y = 8/3.

Sea u = log 9 x y v = log 8 y. Por la propiedad recíproca anterior, 1 / u = log x 9 y 1 / v = log y 8.

Podemos reescribir nuestras ecuaciones ahora como:

Resolviendo por sustitución, u = 2 - 1 / v, así: 1 / (2 - 1 / v) + v = 8/3.
3 (1 + 2 v - 1) = 8 (2 - 1 / v)
6 contra 2 = 16 contra 8.
6 v 2 - 16 v + 8 = 0.
3 v 2 - 8 v + 4 = 0.
A esto aplicamos la fórmula cuadrática y encontramos que
v = (8 y # 177 (64 - 48)) / 6.
= (8 y # 177 4) / 6 o 2, 2/3.
Entonces u = 3/2 o 1/2 & # 160 & # 160 & # 160 o (u, v) = <(3/2, 2), (1/2, 2/3)>
Entonces (x, y) = <(27, 64), (3, 4)>


Contenido

La palabra álgebra viene del árabe: الجبر, romanizado: al-jabr, iluminado. 'reunión de partes rotas, [1] montaje de huesos [2]' del título del libro de principios del siglo IX c Ilm al-jabr wa l-muqābala "La ciencia de restaurar y equilibrar" por el matemático y astrónomo persa al-Khwarizmi. En su obra, el término al-jabr referido a la operación de mover un término de un lado de una ecuación al otro, المقابلة al-muqābala "equilibrio" se refiere a la adición de términos iguales a ambos lados. Acortado a solo Algeber o álgebra en latín, la palabra finalmente ingresó al idioma inglés durante el siglo XV, ya sea del español, el italiano o el latín medieval. Originalmente se refería al procedimiento quirúrgico de colocar huesos rotos o dislocados. El significado matemático se registró por primera vez (en inglés) en el siglo XVI. [7]

La palabra "álgebra" tiene varios significados relacionados en matemáticas, como una sola palabra o con calificativos.

  • Como una sola palabra sin artículo, "álgebra" nombra una gran parte de las matemáticas.
  • Como una sola palabra con un artículo o en plural, "un álgebra" o "álgebras" denota una estructura matemática específica, cuya definición precisa depende del contexto. Por lo general, la estructura tiene una suma, una multiplicación y una multiplicación escalar (consulte Álgebra sobre un campo). Cuando algunos autores usan el término "álgebra", hacen un subconjunto de los siguientes supuestos adicionales: asociativo, conmutativo, unital y / o de dimensión finita. En álgebra universal, la palabra "álgebra" se refiere a una generalización del concepto anterior, que permite operaciones n-arias.
  • Con un calificador, existe la misma distinción:
    • Sin un artículo, significa una parte del álgebra, como el álgebra lineal, el álgebra elemental (las reglas de manipulación de símbolos que se enseñan en los cursos elementales de matemáticas como parte de la educación primaria y secundaria) o el álgebra abstracta (el estudio de las estructuras algebraicas para ellos mismos).
    • Con un artículo, significa una instancia de alguna estructura abstracta, como un álgebra de Lie, un álgebra asociativa o un álgebra de operador de vértice.
    • A veces, existen ambos significados para el mismo calificador, como en la oración: El álgebra conmutativa es el estudio de los anillos conmutativos, que son álgebras conmutativas sobre los números enteros..

    El álgebra comenzó con cálculos similares a los de la aritmética, con letras que representan números. [5] Esto permitió pruebas de propiedades que son verdaderas sin importar qué números estén involucrados. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática

    Históricamente, y en la enseñanza actual, el estudio del álgebra comienza con la resolución de ecuaciones como la ecuación cuadrática anterior. Luego, preguntas más generales, como "¿una ecuación tiene solución?", "¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?", "¿Qué se puede decir sobre la naturaleza de las soluciones?" son considerados. Estas preguntas llevaron a extender el álgebra a objetos no numéricos, como permutaciones, vectores, matrices y polinomios. Las propiedades estructurales de estos objetos no numéricos se abstrajeron luego en estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos.

    Antes del siglo XVI, las matemáticas se dividían en solo dos subcampos, aritmética y geometría. Aunque algunos métodos, que se habían desarrollado mucho antes, pueden considerarse hoy en día como álgebra, el surgimiento del álgebra y, poco después, del cálculo infinitesimal como subcampos de las matemáticas solo data del siglo XVI o XVII. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, aparecieron muchos campos nuevos de las matemáticas, la mayoría de los cuales utilizaban tanto la aritmética como la geometría, y casi todos utilizaban el álgebra.

    Hoy en día, el álgebra ha crecido hasta incluir muchas ramas de las matemáticas, como se puede ver en la Clasificación de asignaturas de matemáticas [8] donde ninguna de las áreas de primer nivel (entradas de dos dígitos) se llama álgebra. Hoy en día el álgebra incluye la sección 08-Sistemas algebraicos generales, 12-Teoría de campos y polinomios, 13-Álgebra conmutativa, 15-Teoría de matrices de álgebra lineal y multilineal, 16-Anillos y álgebras asociativas, 17-Anillos y álgebras no asociativos, Teoría de 18 categorías homológica álgebra, teoría de 19 K y teoría de 20 grupos. El álgebra también se usa ampliamente en la teoría de los números 11 y la geometría algebraica 14.

    Historia temprana del álgebra

    Las raíces del álgebra se remontan a los antiguos babilonios, [9] que desarrollaron un sistema aritmético avanzado con el que podían hacer cálculos de forma algorítmica. Los babilonios desarrollaron fórmulas para calcular soluciones a problemas que normalmente se resuelven hoy mediante el uso de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas y ecuaciones lineales indeterminadas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, así como las matemáticas griegas y chinas en el primer milenio antes de Cristo, solían resolver estas ecuaciones mediante métodos geométricos, como los descritos en el Papiro matemático Rhind, Euclides Elementos, y Los nueve capítulos sobre el arte matemático. El trabajo geométrico de los griegos, tipificado en el Elementos, proporcionó el marco para generalizar fórmulas más allá de la solución de problemas particulares en sistemas más generales de enunciado y resolución de ecuaciones, aunque esto no se realizaría hasta que las matemáticas se desarrollaran en el Islam medieval. [10]

    En la época de Platón, las matemáticas griegas habían experimentado un cambio drástico. Los griegos crearon un álgebra geométrica donde los términos estaban representados por lados de objetos geométricos, generalmente líneas, que tenían letras asociadas. [5] Diofanto (siglo III d. C.) fue un matemático griego alejandrino y autor de una serie de libros titulada Arithmetica. Estos textos tratan de la resolución de ecuaciones algebraicas, [11] y han llevado, en teoría de números, a la noción moderna de ecuación diofántica.

    Las tradiciones anteriores discutidas anteriormente tuvieron una influencia directa en el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780–850). Luego escribió El libro compendioso sobre cálculo por terminación y balance, que estableció el álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y la aritmética. [12]

    Los matemáticos helenísticos Héroe de Alejandría y Diofanto [13], así como matemáticos indios como Brahmagupta, continuaron las tradiciones de Egipto y Babilonia, aunque Diofanto Arithmetica y Brahmagupta's Brāhmasphuṭasiddhānta están en un nivel superior. [14] [ se necesita una mejor fuente ] Por ejemplo, la primera solución aritmética completa escrita en palabras en lugar de símbolos, [15] incluyendo soluciones cero y negativas, para ecuaciones cuadráticas fue descrita por Brahmagupta en su libro Brahmasphutasiddhanta, publicado en 628 d.C. [16] Más tarde, los matemáticos persas y árabes desarrollaron métodos algebraicos con un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque Diofanto y los babilonios utilizaron principalmente ad hoc métodos para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental. Resolvió ecuaciones lineales y cuadráticas sin simbolismo algebraico, números negativos o cero, por lo que tuvo que distinguir varios tipos de ecuaciones. [17]

    En el contexto en el que el álgebra se identifica con la teoría de las ecuaciones, el matemático griego Diofanto ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra" y en el contexto en el que se identifica con las reglas para manipular y resolver ecuaciones, el matemático persa al-Khwarizmi es considerado como "el padre del álgebra". [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] Ahora existe un debate sobre si quién (en el sentido general) tiene más derecho a ser conocido como "el padre del álgebra". Quienes apoyan a Diofanto señalan el hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es un poco más elemental que el álgebra que se encuentra en Arithmetica y eso Arithmetica se sincopa mientras Al-Jabr es completamente retórico. [25] Those who support Al-Khwarizmi point to the fact that he introduced the methods of "reduction" and "balancing" (the transposition of subtracted terms to the other side of an equation, that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation) which the term al-jabr originally referred to, [26] and that he gave an exhaustive explanation of solving quadratic equations, [27] supported by geometric proofs while treating algebra as an independent discipline in its own right. [22] His algebra was also no longer concerned "with a series of problems to be resolved, but an exposition which starts with primitive terms in which the combinations must give all possible prototypes for equations, which henceforward explicitly constitute the true object of study". He also studied an equation for its own sake and "in a generic manner, insofar as it does not simply emerge in the course of solving a problem, but is specifically called on to define an infinite class of problems". [28]

    Another Persian mathematician Omar Khayyam is credited with identifying the foundations of algebraic geometry and found the general geometric solution of the cubic equation. His book Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), which laid down the principles of algebra, is part of the body of Persian mathematics that was eventually transmitted to Europe. [29] Yet another Persian mathematician, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, found algebraic and numerical solutions to various cases of cubic equations. [30] He also developed the concept of a function. [31] The Indian mathematicians Mahavira and Bhaskara II, the Persian mathematician Al-Karaji, [32] and the Chinese mathematician Zhu Shijie, solved various cases of cubic, quartic, quintic and higher-order polynomial equations using numerical methods. In the 13th century, the solution of a cubic equation by Fibonacci is representative of the beginning of a revival in European algebra. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) took "the first steps toward the introduction of algebraic symbolism". He also computed ∑norte 2 , ∑norte 3 and used the method of successive approximation to determine square roots. [33]

    Modern history of algebra

    François Viète's work on new algebra at the close of the 16th century was an important step towards modern algebra. In 1637, René Descartes published La Géométrie, inventing analytic geometry and introducing modern algebraic notation. Another key event in the further development of algebra was the general algebraic solution of the cubic and quartic equations, developed in the mid-16th century. The idea of a determinant was developed by Japanese mathematician Seki Kōwa in the 17th century, followed independently by Gottfried Leibniz ten years later, for the purpose of solving systems of simultaneous linear equations using matrices. Gabriel Cramer also did some work on matrices and determinants in the 18th century. Permutations were studied by Joseph-Louis Lagrange in his 1770 paper "Réflexions sur la résolution algébrique des équations " devoted to solutions of algebraic equations, in which he introduced Lagrange resolvents. Paolo Ruffini was the first person to develop the theory of permutation groups, and like his predecessors, also in the context of solving algebraic equations.

    Abstract algebra was developed in the 19th century, deriving from the interest in solving equations, initially focusing on what is now called Galois theory, and on constructibility issues. [34] George Peacock was the founder of axiomatic thinking in arithmetic and algebra. Augustus De Morgan discovered relation algebra in his Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs developed an algebra of vectors in three-dimensional space, and Arthur Cayley developed an algebra of matrices (this is a noncommutative algebra). [35]

    Some areas of mathematics that fall under the classification abstract algebra have the word algebra in their name linear algebra is one example. Others do not: group theory, ring theory, and field theory are examples. In this section, we list some areas of mathematics with the word "algebra" in the name.

      , the part of algebra that is usually taught in elementary courses of mathematics. , in which algebraic structures such as groups, rings and fields are axiomatically defined and investigated. , in which the specific properties of linear equations, vector spaces and matrices are studied. , a branch of algebra abstracting the computation with the truth valuesfalso y cierto. , the study of commutative rings. , the implementation of algebraic methods as algorithms and computer programs. , the study of algebraic structures that are fundamental to study topological spaces. , in which properties common to all algebraic structures are studied. , in which the properties of numbers are studied from an algebraic point of view. , a branch of geometry, in its primitive form specifying curves and surfaces as solutions of polynomial equations. , in which algebraic methods are used to study combinatorial questions. : a set of finitary relations that is closed under certain operators.

    Many mathematical structures are called algebras:

      or more generally algebra over a ring.
      Many classes of algebras over a field or over a ring have a specific name:
      and F-coalgebra
      , a residuated Boolean algebra expanded with an involution called converse. , a complementeddistributive lattice.

    Elementary algebra is the most basic form of algebra. It is taught to students who are presumed to have no knowledge of mathematics beyond the basic principles of arithmetic. In arithmetic, only numbers and their arithmetical operations (such as +, −, ×, ÷) occur. In algebra, numbers are often represented by symbols called variables (such as a, norte, X, y o z). This is useful because:

    • It allows the general formulation of arithmetical laws (such as a + B = B + a for all a y B), and thus is the first step to a systematic exploration of the properties of the real number system.
    • It allows the reference to "unknown" numbers, the formulation of equations and the study of how to solve these. (For instance, "Find a number X such that 3X + 1 = 10" or going a bit further "Find a number X tal que hacha + B = C". This step leads to the conclusion that it is not the nature of the specific numbers that allow us to solve it, but that of the operations involved.)
    • It allows the formulation of functional relationships. (For instance, "If you sell X tickets, then your profit will be 3X − 10 dollars, or F(X) = 3X − 10, where F is the function, and X is the number to which the function is applied".)

    Polynomials

    A polynomial is an expression that is the sum of a finite number of non-zero terms, each term consisting of the product of a constant and a finite number of variables raised to whole number powers. Por ejemplo, X 2 + 2X − 3 is a polynomial in the single variable X. A polynomial expression is an expression that may be rewritten as a polynomial, by using commutativity, associativity and distributivity of addition and multiplication. For example, (X − 1)(X + 3) is a polynomial expression, that, properly speaking, is not a polynomial. A polynomial function is a function that is defined by a polynomial, or, equivalently, by a polynomial expression. The two preceding examples define the same polynomial function.

    Two important and related problems in algebra are the factorization of polynomials, that is, expressing a given polynomial as a product of other polynomials that cannot be factored any further, and the computation of polynomial greatest common divisors. The example polynomial above can be factored as (X − 1)(X + 3). A related class of problems is finding algebraic expressions for the roots of a polynomial in a single variable.

    Education

    It has been suggested that elementary algebra should be taught to students as young as eleven years old, [36] though in recent years it is more common for public lessons to begin at the eighth grade level (≈ 13 y.o. ±) in the United States. [37] However, in some US schools, algebra is started in ninth grade.

    Abstract algebra extends the familiar concepts found in elementary algebra and arithmetic of numbers to more general concepts. Here are the listed fundamental concepts in abstract algebra.

    Sets: Rather than just considering the different types of numbers, abstract algebra deals with the more general concept of sets: a collection of all objects (called elements) selected by property specific for the set. All collections of the familiar types of numbers are sets. Other examples of sets include the set of all two-by-two matrices, the set of all second-degree polynomials (hacha 2 + bx + C), the set of all two dimensional vectors in the plane, and the various finite groups such as the cyclic groups, which are the groups of integers modulo norte. Set theory is a branch of logic and not technically a branch of algebra.

    Binary operations: The notion of addition (+) is abstracted to give a binary operation, ∗ say. The notion of binary operation is meaningless without the set on which the operation is defined. For two elements a y B in a set S, aB is another element in the set this condition is called closure. Addition (+), subtraction (−), multiplication (×), and division (÷) can be binary operations when defined on different sets, as are addition and multiplication of matrices, vectors, and polynomials.

    Identity elements: The numbers zero and one are abstracted to give the notion of an identity element for an operation. Zero is the identity element for addition and one is the identity element for multiplication. For a general binary operator ∗ the identity element e must satisfy ae = a y ea = a, and is necessarily unique, if it exists. This holds for addition as a + 0 = a and 0 + a = a and multiplication a × 1 = a and 1 × a = a. Not all sets and operator combinations have an identity element for example, the set of positive natural numbers (1, 2, 3, . ) has no identity element for addition.

    Inverse elements: The negative numbers give rise to the concept of inverse elements. For addition, the inverse of a is written −a, and for multiplication the inverse is written a −1. A general two-sided inverse element a −1 satisfies the property that aa −1 = e y a −1 ∗ a = e, donde e is the identity element.

    Associativity: Addition of integers has a property called associativity. That is, the grouping of the numbers to be added does not affect the sum. For example: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) . In general, this becomes (aB) ∗ C = a ∗ (BC). This property is shared by most binary operations, but not subtraction or division or octonion multiplication.

    Commutativity: Addition and multiplication of real numbers are both commutative. That is, the order of the numbers does not affect the result. For example: 2 + 3 = 3 + 2. In general, this becomes aB = Ba. This property does not hold for all binary operations. For example, matrix multiplication and quaternion multiplication are both non-commutative.

    Groups

    Combining the above concepts gives one of the most important structures in mathematics: a grupo. A group is a combination of a set S and a single binary operation ∗, defined in any way you choose, but with the following properties:

    • An identity element e exists, such that for every member a de S, ea y ae are both identical to a.
    • Every element has an inverse: for every member a de S, there exists a member a −1 such that aa −1 and a −1 ∗ a are both identical to the identity element.
    • The operation is associative: if a, B y C are members of S, then (aB) ∗ C is identical to a ∗ (BC).

    If a group is also commutative – that is, for any two members a y B de S, aB is identical to Ba – then the group is said to be abelian.

    For example, the set of integers under the operation of addition is a group. In this group, the identity element is 0 and the inverse of any element a is its negation, −a. The associativity requirement is met, because for any integers a, B y C, (a + B) + C = a + (B + C)

    The non-zero rational numbers form a group under multiplication. Here, the identity element is 1, since 1 × a = a × 1 = a for any rational number a. The inverse of a is 1/a, since a × 1/a = 1.

    The integers under the multiplication operation, however, do not form a group. This is because, in general, the multiplicative inverse of an integer is not an integer. For example, 4 is an integer, but its multiplicative inverse is ¼, which is not an integer.

    The theory of groups is studied in group theory. A major result in this theory is the classification of finite simple groups, mostly published between about 1955 and 1983, which separates the finite simple groups into roughly 30 basic types.

    Semi-groups, quasi-groups, and monoids structure similar to groups, but more general. They comprise a set and a closed binary operation but do not necessarily satisfy the other conditions. A semi-group has an associative binary operation but might not have an identity element. A monoid is a semi-group which does have an identity but might not have an inverse for every element. A quasi-group satisfies a requirement that any element can be turned into any other by either a unique left-multiplication or right-multiplication however, the binary operation might not be associative.

    All groups are monoids, and all monoids are semi-groups.

    Ejemplos de
    Colocar Natural numbers N Enteros Z Rational numbers Q (also real R and complex C numbers) Integers modulo 3: Z3 =
    Operation + × (w/o zero) + × (w/o zero) + × (w/o zero) ÷ (w/o zero) + × (w/o zero)
    Closed
    Identity 0 1 0 1 0 N/A 1 N/A 0 1
    Inverse N/A N/A a N/A a N/A 1/a N/A 0, 2, 1, respectively N/A, 1, 2, respectively
    Associative No No
    Commutative No No
    Structure monoid monoid abelian group monoid abelian group quasi-group abelian group quasi-group abelian group abelian group (Z2)

    Rings and fields

    Groups just have one binary operation. To fully explain the behaviour of the different types of numbers, structures with two operators need to be studied. The most important of these are rings and fields.

    A ring has two binary operations (+) and (×), with × distributive over +. Under the first operator (+) it forms an abelian group. Under the second operator (×) it is associative, but it does not need to have an identity, or inverse, so division is not required. The additive (+) identity element is written as 0 and the additive inverse of a is written as −a.

    Distributivity generalises the distributive law for numbers. For the integers (a + B) × C = a × C + B × C y C × (a + B) = C × a + C × B, and × is said to be distributive over +.

    The integers are an example of a ring. The integers have additional properties which make it an integral domain.

    A field es un ring with the additional property that all the elements excluding 0 form an abelian group under ×. The multiplicative (×) identity is written as 1 and the multiplicative inverse of a is written as a −1 .

    The rational numbers, the real numbers and the complex numbers are all examples of fields.


    3. Universal Algebra

    Universal algebra is the next level of abstraction after abstract algebra. Whereas elementary algebra treats equational reasoning in a particular algebra such as the field of reals or the field of complex numbers, and abstract algebra studies particular classes of algebras such as groups, rings, or fields, universal algebra studies classes of classes of algebras. Much as abstract algebra numbers groups, rings, and fields among its basic classes, so does universal algebra count varieties, quasivarieties, and elementary classes among its basic classes of classes.

    A modelo of a theory is a structure for which all the equations of that theory are identities. Terms are built up from variables and constants using the operations of the theory. An equation is a pair of terms it is satisfied by an algebra when the two terms are equal under all valuations of (assignments of values to) the (n) variables appearing in the terms, equivalently when they denote the same (n)-ary operation. A quasiequation is a pair consisting of a finite set of equations, called the premises or antecedents, and another equation, the conclusion it is satisfied by an algebra when the two terms of the conclusion are equal under all valuations of the (n) variables appearing in the terms satisfying the premises. A first order formula is a quantified Boolean combination of relational terms.

    A variety is the class of all models of a set of equations. A quasivariety is the class of all models of a set of quasiequations. Un elementary class is the class of all models of a set of first-order formulas.

    Quasivarieties have received much less attention than either varieties or elementary classes, and we accordingly say little about them here. Elementary classes are treated in sufficient depth elsewhere in this encyclopedia that we need not consider them here. We therefore focus in this section on varieties.

    Abelian groups, groups, rings, and vector spaces over a given field all form varieties.

    A central result in this area is the theorem that a lattice arises as the lattice of subalgebras of some algebra if and only if it arises as the lattice of congruences on some algebra. Lattices of this sort are called algebraic lattices. When the congruences of an algebra permute, its congruence lattice is modular, a strong condition facilitating the analysis of finite algebras in particular.

    3.1 Concepts

    Familiar theorems of number theory emerge in algebraic form for algebras. An algebra (A) is called directly irreducible or simple when its lattice of congruences is the two-element lattice consisting of (A) and the one-element algebra, paralleling the notion of prime number (p) as a number whose lattice of divisors has two elements (p) and 1. However the counterpart of the fundamental theorem of arithmetic, that every positive integer factors uniquely as a product of primes, requires a more delicate kind of product than direct product. Birkhoff&rsquos notion of subdirect product enabled him to prove the Subdirect Representation Theorem, that every algebra arises as the subdirect product of its subdirectly irreducible quotients. Whereas there are many subdirectly irreducible groups, the only subdirectly irreducible Boolean algebra is the initial or two-element one, while the subdirectly irreducible rings satisfying (x^n = x) for some (n gt 1) are exactly the finite fields.

    Another central topic is duality: Boolean algebras are dual to Stone spaces, complete atomic Boolean algebras are dual to sets, distributive lattices with top and bottom are dual to partially ordered sets, algebraic lattices are dual to semilattices, and so on. Duality provides two ways of looking at an algebra, one of which may turn out to be more insightful or easier to work with than the other depending on the application.

    The structure of varieties as classes of all models of some equational theory is also of great interest. The earliest result in this area is Birkhoff&rsquos theorem that a class of algebras is a variety if and only if it is closed under formation of quotients (homomorphic images), subalgebras, and arbitrary (including empty and infinite) direct products. This &ldquomodern algebra&rdquo result constitutes a completeness theorem for equational logic in terms of its models. Its elementary counterpart is the theorem that the equational theories on a free algebra (F(V)), defined as the deductively closed sets of equations that use variables from (V), are exactly its substitutive congruences.

    A locally finite variety is one whose finitely generated free algebras are finite, such as pointed sets, graphs (whether of the directed or undirected variety), and distributive lattices. A congruence permutable variety is a variety all of whose algebras are congruence permutable. Maltsev characterized these in terms of a necessary and sufficient condition on their theories, namely that (F)(3) contain an operation (t(x, y, z)) for which (t(x, x, y) = t(y, x, x) = y) are in the theory. Analogous notions are congruence distributivity and congruence modularity, for which there exist analogous syntactic characterizations of varieties of algebras with these properties. A more recently developed power tool for this area is McKenzie&rsquos notion of tame congruences, facilitating the study of the structure of finite algebras.

    Within the algebraic school, varieties have been defined with the understanding that the operations of a signature form a set. Insights from category theory, in particular the expression of a variety as a monad, defined as a monoid object in the category (C^C) of endofunctors of a category (C) (Set in the case of ordinary universal algebra) indicate that a cleaner and more general notion of variety is obtained when the operations can form a proper class. For example the important classes of complete semilattices, CSLat, and complete atomic Boolean algebras, CABA, form varieties only with this broader notion of signature. In the narrow algebraic sense of variety, the dual of a variety can never be a variety, whereas in the broader monadic notion of variety, the variety Set of sets is dual to CABA while CSLat is self-dual.

    3.2 Equational Logic

    Axiom systems. Identities can also be used to transform equations to equivalent equations. When those equations are themselves identities for some domain, the equations they are transformed into remain identities for that domain. One can therefore start from some finite set of identities and manufacture an unlimited number of new identities from them.

    For example if we start from just the two identities ((x+y)+z = x+(y+z)) and (x+y = y+x), we can obtain the identity ((w+x)+(y+z) = (w+y)+(x+z)) via the following series of transformations.

    This process of manufacturing new identities from old is called deduction. Any identity that can be generated by deduction starting from a given set (A) of identities is called a consequence of (A). The set of all consequences of (A) is called the deductive closure of (A). We refer to (A) as an axiomatization of its deductive closure. A set that is its own deductive closure is said to be deductively closed. It is straightforward to show that a set is deductively closed if and only if it is the deductive closure of some set.

    Un equational theory is a deductively closed set of equations, equivalently the set of all consequences of some set (A) of equations. Every theory always has itself as its own axiomatization, but it will usually also have smaller axiomatizations. A theory that has a finite axiomatization is said to be finitely based o finitely axiomatizable.

    Effectiveness. Finitely based theories can be effectively enumerated. That is, given a finite set (A) of equations, one can write a computer program that prints consequences of (A) for ever in such a way that every consequence of (A) will appear at some finite position in the infinite list of all consequences. The same conclusion obtains when we weaken the requirement that (A) be finite to merely that it can be effectively enumerated. That is, if the axiomatization is effectively enumerable so is its deductive closure.

    (In reconciling the finite with the infinite, bear in mind that if we list all the natural numbers 0, 1, 2, &hellip in order, we obtain an infinite list every member of which is only finitely far from the beginning, and also has a well-defined predecessor (except for 0) and successor. Only if we attempt to pad this list out at the &ldquoend&rdquo with infinite numbers does this principle break down.

    One way to visualize there being an &ldquoend&rdquo that could have more elements beyond it is to consider the rationals of the form (1/n) for all nonzero integers (n), in increasing order. This list starts out (-1/1, -1/2, -1/3,ldots) and after listing infinitely many negative rationals of that form, with no greatest such, switches over to positive rationals, with no first such, finally ending with 1/3, 1/2, 1/1. The entire list is discrete in the sense that every rational except the endpoints (-1/1) and 1/1 has a well-defined predecessor and successor in this subset of the rationals, unlike the situation for the set of all rationals between (-1/1) and (1/1). This would no longer be the case were we to introduce the rational 0 &ldquoin the middle&rdquo, which would have neither a predecessor nor a successor.)

    Equational Logic. Our informal account of deduction can be formalized in terms of five rules for producing new identities from old. In the following, (s) and (t) denote arbitrary terms.

    (R1) From nothing infer (t = t). (R2) From (s = t) infer (t = s). (R3) From (s = t) and (t = u) infer (s = u). (R4) From (s_1 = t_1, s_2 = t_2 , ldots ,s_n = t_n) infer (f(s_1, s_2 , ldots ,s_n)= f(t_1, t_2 , ldots ,t_n)), where (f) is an (n)-ary operation. (R5) From (s = t) infer (s' = t') where (s') and (t') are the terms resulting from consistently substituting terms for variables in (s) and (t) respectively.

    &ldquoConsistently&rdquo in this context means that if a term is substituted for one occurrence of a given variable, the same term must be substituted for all occurrences of that variable in both (s) and (t). We could not for example appeal solely to R5 to justify substituting (u+v) for (x) in the left hand side of (x+y = y+x) and (v+u) for (x) in the right hand side, though some other rule might permit it.

    An equational theory as a set of pairs of terms amounts to a binary relation on the set of all terms. Rules R1&ndashR3 correspond to respectively reflexivity, symmetry, and transitivity of this binary relation, (i.e). these three rules assert that an equational theory is an equivalence relation. Regla R4 expresses the further property that this binary relation is a congruence. Regla R5 further asserts that the relation is a substitutive congruence. It can be shown that a binary relation on the set of terms is an equational theory if and only if it is a substitutive congruence. These five rules therefore completely axiomatize equational logic in the sense that every consequence of a set (A) of equations can be produced from (A) via finitely many applications of these five rules.

    3.3 Birkhoff&rsquos Theorem

    A variety is by definition the class of models of some equational theory. In 1935 Birkhoff provided an equivalent characterization of varieties as any class closed under quotients (homomorphic images), direct products, and subalgebras. These notions are defined as follows.

    Given two algebras ((X, f_1 , ldots f_k)) and ((Y, g_1 , ldots g_k)), a homomorphism (h: (X, f_1 , ldots f_k) ightarrow (Y, g_1 , ldots g_k)) is a function (h: X ightarrow Y) satisfying (h(f_i (x_0 , ldots ,x_-1 >)) = g_i (h(x_0), ldots ,h(x_-1 >)))) for each (i) from 1 to (k) where (n_i) is the arity of both (f_i) and (g_i).

    A subalgebra of an algebra is a set of elements of the algebra closed under the operations of the algebra.

    Let (I) be an arbitrary set, which may be empty, finite, or infinite. A family (langle A_ angle_) of algebras ((X_i, f_<1>^i,ldots, f_k^i)) indexed by (I) consists of one algebra (A_i) for each element (i) of (I). We define the direct product (Pi A_i) (or (Pi_ A_i) in full) of such a family as follows.

    The underlying set of (Pi A_i) is the cartesian product (Pi X_i) of the underlying sets (X_i), and consists of those (I)-tuples whose (i)-th element is some element of (X_i). ((I) may even be uncountable, but in this case the nonemptiness of (Pi X_i) as a consequence of the nonemptiness of the individual (X_i)&rsquos is equivalent to the axiom of choice. This should be kept in mind for any constructive applications of Birkhoff&rsquos theorem.)

    The (j)-th operation of (Pi A_i), of arity (n_j), takes an (n_j)-tuple (t) of elements of (Pi X_i) and produces the (I)-tuple (langle f_^i(t_<1>^i , ldots t_ >^i) angle_) where (t_k^i) is the (i)-th component of the (k)-th component of (t) for (k) from 1 to (n_j).

    Given two algebras (A), (B) and a homomorphism (h: A ightarrow B), the homomorphic image (h(A)) is the subalgebra of (B) consisting of elements of the form (h(a)) for (a) in (A).

    Given a class (C) of algebras, we write (P(C)) for the class of all algebras formed as direct products of families of algebras of (C, S(C)) for the class of all subalgebras of algebras of (C), and (H(C)) for the class of all homomorphic images of algebras of (C).

    It is relatively straightforward to show that any equation satisfied by all the members of (C) is also satisfied by all the members of (P(C), S(C)), and (H(C)). Hence for a variety (V, P(V) = S(V) = H(V)).

    Birkhoff&rsquos theorem is the converse: for any class (C) such that (P(C) = S(C) = H(C), C) is a variety. In fact the theorem is slightly stronger: for any class (C), HSP((C)) is a variety. That is, to construct all the models of the theory of (C) it suffices to close (C) first under direct products, then under subalgebras, and finally under homomorphic images that is, later closures do not compromise earlier ones provided (P, S), and (H) are performed in that order.

    A basic application of Birkhoff&rsquos theorem is in proving the completeness of a proposed axiomatization of a class (C). Given an arbitrary model of the axioms, it suffices to show that the model can be constructed as the homomorphic image of a subalgebra of a direct product of algebras of (C).

    This completeness technique complements the completeness observed in the previous section for the rules of equational logic.


    Discrete Math Problem - Properties of Relations

    I'm new to this forum, and wasn't sure where to post a Discrete Math problem, but as the class has probability topics I figured this was appropriate.

    Quick background: Taking discrete math online, and it's very difficult to follow. The text is beyond my comprehension. I got the below problem incorrect on an assignment, and when I asked the professor for help, I was told he/she needed to check the text and would get back to me. Great class, huh? So, I'll show my thought process, and hopefully someone can steer me in the right direction. Also, searched all over YouTube for videos, and didn't find any that clarified relations (at least for my brain). Please do not tell me the analogies such as "the father of". That's only confusing me more! I learn best by seeing numerous examples, so I understand the pattern, and then I start understanding through reading. Thanks for any help/clarification, I really appreciate it.

    "Let A=<1,2,3,4>. Determine whether the relation is reflexive, irreflexive, symmetric, asymmetric, antisymmetric, or transitive.
    R=<(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)>"

    1. Ok, I know (haha, think) this isn't reflexive. For that to be true, I'd need to see (1,1), (2,2), (3,3), or (4,4).

    2. I know this is irreflexive as there are no identical pairs (e.g. no (2,2))

    3. It is not symmetric from the get-go as the first ordered pair is (1,2) and there’s no (2,1)


    4. It is not antisymmetric as there are no values (x,y),(y,x) where can draw the conclusion x=y (note: this one confuses me slightly, so I may be misinterpreting it)


    5. It is asymmetric as there is neither symmetry nor asymmetry. (note: again, not sure I'm interpreting this one correctly)


    6. It is transitive (the most confusing one for me). Okay, so if (x,y) and (y,z) we can conclude the relation (x,z). I see (1,2) and (2,3) as well as (1,3). That's transitive, right? Does that alone make it transitive, or does this have to hold true for other values as well?

    Anyway, that's it. I got it wrong with no explanation why, so any clarification on relations would really help me out. Also, I've tried drawing this as a Digraph, and that doesn't help either. Hopefully someone can find a way to make me grasp this concept.


    When a fraction equals zero :

    Where a fraction equals zero, its numerator, the part which is above the fraction line, must equal zero.

    Now,to get rid of the denominator, Tiger multiplys both sides of the equation by the denominator.

    Now, on the left hand side, the 5 cancels out the denominator, while, on the right hand side, zero times anything is still zero.

    The equation now takes the shape :
    5y-7x+55 = 0

    Equation of a Straight Line

    Tiger recognizes that we have here an equation of a straight line. Such an equation is usually written y=mx+b ("y=mx+c" in the UK).

    "y=mx+b" is the formula of a straight line drawn on Cartesian coordinate system in which "y" is the vertical axis and "x" the horizontal axis.

    y tells us how far up the line goes
    x tells us how far along
    m is the Slope or Gradient i.e. how steep the line is
    b is the Y-intercept i.e. where the line crosses the Y axis

    The X and Y intercepts and the Slope are called the line properties. We shall now graph the line 5y-7x+55 = 0 and calculate its properties

    Graph of a Straight Line :

    Calculate the Y-Intercept :

    Notice that when x = 0 the value of y is -11/1 so this line "cuts" the y axis at y=-11.00000

    Calculate the X-Intercept :

    When y = 0 the value of x is 55/7 Our line therefore "cuts" the x axis at x= 7.85714

    Calculate the Slope :

    Slope is defined as the change in y divided by the change in x. We note that for x=0, the value of y is -11.000 and for x=2.000, the value of y is -8.200. So, for a change of 2.000 in x (The change in x is sometimes referred to as "RUN") we get a change of -8.200 - (-11.000) = 2.800 in y. (The change in y is sometimes referred to as "RISE" and the Slope is m = RISE / RUN)


    Ver el vídeo: División de Polinomios - MÉTODO DE HORNER - Explicación paso a paso (Noviembre 2021).