Artículos

18.7: Transformaciones lineales fraccionales - Matemáticas


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Vea el video “Las transformaciones de Möbius reveladas” por Douglas Arnold y Jonathan Rogness. (Está disponible en YouTube).

El plano complejo ( mathbb {C} ) extendido por un número ideal ( infty ) se llama plano complejo extendido. Se denota por ( hat { mathbb {C}} ), entonces ( hat { mathbb {C}} = mathbb {C} cup { infty } )

A transformación lineal fraccionaria o Transformación de Moebius de ( hat { mathbb {C}} ) es una función de una variable compleja (z ) que se puede escribir como

(f (z) = dfrac {a cdot z + b} {c cdot z + d}, )

donde los coeficientes (a ), (b ), (c ), (d ) son números complejos que satisfacen (a cdot d - b cdot c not = 0 ). (Si (a cdot d - b cdot c = 0 ) la función definida anteriormente es una constante y no se considera una transformación lineal fraccionaria).

En el caso (c not = 0 ), asumimos que

(f (-d / c) = infty quad text {y} quad f ( infty) = a / c; )

y si (c = 0 ) asumimos

(f ( infty) = infty. )


Mapeo lineal fraccional

Un mapeo del espacio complejo $ mathbf C ^ rightarrow mathbf C ^ $ realizado por funciones fraccionarias-lineales (cf. Función fraccional-lineal).

En el caso del plano complejo $ mathbf C ^ <1> = mathbf C $, este es un mapeo no constante de la forma

$ etiqueta <1> z rightarrow w = L (z) = frac , $

donde $ a d - b c neq 0 $ a menudo se emplea la normalización unimodular $ a d - b c = 1 $. Cualquier mapeo lineal fraccional se puede definir adicionalmente por la correspondencia $ infty rightarrow a / c $ y $ - d / c rightarrow infty $ para producir un mapeo uno a uno del plano extendido $ overline < mathbf C> $ sobre sí mismo. Las asignaciones lineales fraccionarias más simples son las lineales, $ z rightarrow w = widetilde z + widetilde $, que se obtienen si $ c = 0 $. Todas las asignaciones lineales fraccionarias no lineales se pueden representar como composiciones de dos asignaciones lineales y de la asignación $ L _ <0> $: $ z rightarrow w = 1 / z $. Las propiedades del mapeo fraccional-lineal $ L _ <0> $ se pueden ilustrar en la esfera de Riemann, ya que si se emplea la proyección estereográfica, corresponde a la rotación de la esfera en 180 ° alrededor del diámetro que pasa por las imágenes de los puntos $ pm 1 en mathbf C $.

Propiedades especiales. Un mapeo lineal fraccional mapea $ overline < mathbf C> $ sobre sí mismo, de manera conforme y biyectiva. La propiedad del círculo: bajo un mapeo lineal fraccional, cualquier círculo en $ overline < mathbf C> $ (es decir, un círculo en $ mathbf C $ o una línea recta complementada por el punto $ infty $) se transforma en un círculo en $ overline < mathbf C> $. La invariancia de la razón de dos puntos ubicados simétricamente: Un par de puntos $ z, z ^ <*> $ que es simétrico con respecto a cualquier círculo en $ overline < mathbf C> $ se convierte, como resultado de un mapeo lineal fraccional, un par de puntos $ w, w ^ <*> $ que es simétrico con respecto a la imagen de este círculo. La relación cruzada entre cuatro puntos en $ overline < mathbf C> $ es invariante con respecto a un mapeo lineal fraccionario, es decir, si ese mapeo transforma los puntos $ xi _ <1>, xi _ <2>, xi _ <3>, xi _ <4> $ en los puntos $ zeta _ <1>, zeta _ <2>, zeta _ <3>, zeta _ <4> $, respectivamente, luego

Para cualquier triplete dado $ xi _ <1>, xi _ <2>, xi _ <3> $ y $ zeta _ <1>, zeta _ <2>, zeta _ <3> $ de puntos distintos por pares en $ overline < mathbf C> $ existe uno y solo un mapeo lineal fraccionario que transforma $ xi _ rightarrow zeta _ $, $ k = 1, 2, 3 $, respectivamente. Este mapeo lineal fraccional se puede encontrar a partir de la ecuación (2) sustituyendo $ z $ y $ w $ por $ xi _ <4> $ y $ zeta _ <4> $, respectivamente. La propiedad del grupo: El conjunto de todas las asignaciones lineales fraccionarias forma un grupo no conmutativo con respecto a la composición $ (L _ <1> L _ <2>) (z) = L _ <1> (L _ <2> (z)) $, con elemento unitario $ E (z) = z $. La propiedad de universalidad: cualquier automorfismo conforme de $ overline < mathbf C> $ es un mapeo lineal fraccionario y, por lo tanto, el grupo de todos los mapeos lineales fraccionarios coincide con el grupo $ mathop < rm Aut> overline < mathbf C> $ de todos los automorfismos conformes de $ overline < mathbf C> $.

Todos los automorfismos conformes del disco unitario $ B = < : <| z | & lt 1> > $ forman un subgrupo $ mathop < rm Aut> B $ del grupo $ mathop < rm Aut> overline < mathbf C> $, que consta de asignaciones lineales fraccionarias del tipo

Lo mismo se aplica a los automorfismos conformes del semiplano superior $ < : < mathop < rm Im> z & gt 0> > $ tienen la forma

$ z flecha derecha w = frac , mathop < rm Im> (a, b, c, d) = 0, a d - b c & gt 0. PS

Todos los homeomorfismos conformes del semiplano superior sobre el disco unitario tienen la forma

Excepto por el mapeo lineal fraccionario de identidad $ E (z) $, los mapeos lineales fraccionarios tienen como máximo dos puntos fijos distintos $ xi _ <1> $, $ xi _ <2> $ en $ overline < mathbf C> $. Si hay dos puntos fijos $ xi _ <1> neq xi _ <2> $, la familia $ Sigma $ de círculos que pasan por $ xi _ <1> $ y $ xi _ <2> $ se transforma por la transformación fraccional-lineal (1) en sí mismo. La familia $ Sigma ^ prime $ de todos los círculos ortogonales a los círculos de $ Sigma $ también se transforma en sí misma. A este respecto, son posibles tres casos.

1) Cada círculo de $ Sigma $ se transforma en sí mismo, tal mapeo lineal fraccional se dice que es hiperbólico y se puede representar en forma normal

donde el multiplicador del mapeo es $ mu & gt 0 $, $ mu neq 1, infty $. Un mapeo lineal fraccional unimodular (1) es hiperbólico si y solo si $ a + d in mathbf R $ y $ | a + d | & gt 2 $.

2) Cada círculo de $ Sigma ^ prime $ se transforma en sí mismo, tal mapeo lineal fraccional se dice que es elíptico y, en la forma normal (3), se caracteriza por un multiplicador $ mu $ tal que $ | mu | = 1 $, $ mu neq 1 $. Un mapeo lineal fraccional unimodular (1) es elíptico si y solo si $ a + d in mathbf R $, $ | a + d | & lt 2 $.

3) Ninguno de los círculos de las familias $ Sigma $ y $ Sigma ^ prime $ se transforma en sí mismo, tal mapeo lineal fraccionario se dice que es loxodrómico y, en forma normal (3), se caracteriza por un multiplicador $ mu in mathbf C $, $ | mu | neq 1 $, de modo que $ mathop < rm Im> mu neq 0 $ o $ mu & lt 0 $. Un mapeo lineal fraccional unimodular (1) es loxodrómico si y solo si $ a + d in mathbf C setminus mathbf R $.

Si dos puntos fijos se fusionan en un punto $ xi _ <1> $, se dice que el mapeo lineal fraccional es parabólico. La familia $ Sigma $ en tal caso consiste en todos los círculos que tienen una tangente común en $ xi _ <1> $ cada círculo se transforma en sí mismo. La forma normal de un mapeo lineal fraccional parabólico es

$ frac <1> > = frac <1> > + alpha, alpha in mathbf C, alpha neq 0, $

$ w = z + alpha, alpha in mathbf C, alpha neq 0, $

si $ xi _ <1> = infty $. Un mapeo lineal fraccional unimodular (1) es parabólico si y solo si $ a + d = pm 2 $.

Debido a las muchas propiedades elementales enumeradas anteriormente, las asignaciones lineales fraccionarias encuentran un uso extenso en todas las ramas de la teoría de funciones de una variable compleja y en varias disciplinas aplicadas. En particular, se puede construir un modelo de geometría de Lobachevskii con la ayuda de asignaciones lineales fraccionarias.

Entre los subgrupos del grupo completo de asignaciones lineales fraccionarias, los grupos discretos $ Gamma $ de asignaciones lineales fraccionarias son los más importantes en cuanto a aplicaciones a la teoría analítica de ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones automórficas y otros problemas de análisis. Los grupos discretos elementales de asignaciones lineales fraccionarias son los grupos finitos que son isomorfos, ya sea a los grupos de rotación cíclica de la esfera de Riemann oa los grupos de rotación de poliedros regulares. Un grupo discreto $ Gamma $ de asignaciones lineales fraccionarias con un círculo invariante $ gamma $ en $ overline < mathbf C> $ que es común para todas las transformaciones de $ Gamma $ y para el cual el interior de $ gamma $ se transforma en sí mismo bajo todas las transformaciones de $ Gamma $, se conoce como grupo fucsiano. Un grupo fucsiano no puede contener un mapeo lineal fraccional loxodrómico. Históricamente, el primer ejemplo de un grupo fucsiano fue el grupo modular que aparece en la teoría de funciones elípticas (ver también Función modular). El grupo modular consta de todas las asignaciones lineales fraccionarias unimodulares (1) en las que los coeficientes $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ son números enteros; el eje real es invariante con respecto a las asignaciones lineales fraccionarias modulares. Los grupos no elementales, no fucsianos de mapeos lineales fraccionarios - grupos kleinianos (cf. grupo kleiniano) - son más complicados y se han estudiado en menor grado.

Un mapeo lineal fraccional del espacio complejo $ mathbf C ^ $, $ n geq 1 $, es un mapeo no degenerado

$ z = (z _ <1> puntos z _ ) rightarrow $

$ flecha derecha w = (w _ <1> puntos w _ ) = (L _ <1> (z) puntos L _ (z)) $

realizable mediante funciones lineales fraccionarias

$ L _ (z) = frac z _ <1> + puntos + a _ z _ + b _ > z _ <1> + puntos + c _ z _ + d _ >, k = 1 puntos n. PS

Las asignaciones lineales fraccionarias más importantes de $ mathbf C ^ $ son aquellos que se extienden a alguna compactación de $ mathbf C ^ PS Por lo tanto, todas las transformaciones lineales que implican una reordenación de coordenadas, así como las asignaciones lineales fraccionarias del tipo

$ z = (z _ <1> puntos z _ ) flecha derecha w = (L _ <1> (z _ <1>) puntos L _ (z _ ) ) , $

donde $ L _ (z _ ) $ es un mapeo lineal fraccionario del tipo (1) en el plano $ z _ $, extender al espacio de la teoría de la función $ overline << mathbf C ^ >> $. El grupo de asignaciones lineales fraccionarias generadas por estas asignaciones coincide con el grupo $ mathop < rm Aut> overline << mathbf C ^ >> $ de todos los automorfismos biholomórficos de la compactación $ overline << mathbf C ^ >> $. El subgrupo correspondiente $ mathop < rm Aut> U ^ $, con

agota todos los automorfismos de la unidad polidisc $ U ^ = < >: <| z _ | & lt 1, j = 1 puntos n> > $. Asignaciones lineales fraccionarias en las que

$ etiqueta <4> L _ (z) = frac z _ <1> + puntos + a _ z _ + b _ > z _ <1> + puntos + c _ z _ + d> = frac (z)> , $

extender al cierre proyectivo $ mathbf C P ^ $ del espacio $ mathbf C ^ PS Esta extensión tiene la siguiente forma en coordenadas homogéneas:

$ (z _ <0> puntos z _ ) flecha derecha izquierda (z _ <0> l izquierda ( frac > derecha) puntos z _ <0> l _ left ( frac > derecha) derecha). PS

Estas asignaciones agotan el grupo $ mathop < rm Aut> mathbf C P ^ $ de todos los automorfismos biholomórficos de $ mathbf C P ^ PS Los automorfismos de la bola unitaria $ B ^ = < >: <| z | & lt 1> > $ forman el subgrupo $ mathop < rm Aut> B ^ $ del grupo $ mathop < rm Aut> mathbf C P ^ $ que consiste en todas las asignaciones lineales fraccionarias del tipo (4) cuyos coeficientes están sujetos a ciertas condiciones suplementarias (cf. [2], Vol. 2).

Referencias

[1] I.I. [I.I. Privalov] Priwalow, "Einführung in die Funktionentheorie", 1–3 , Teubner (1958-1959) (Traducido del ruso)
[2] B.V. Shabat, "Introducción al análisis complejo", 1–2 , Moscú (1976) (en ruso)
[3] S. Stoilow, "La teoría de funciones de una variable compleja", 1 , Moscú (1962) (en ruso traducido del rumano)
[4] L.R. Ford, "Funciones automórficas", Chelsea, reimpresión (1951)

Comentarios

Una buena referencia para $ mathop < rm Aut> B ^ $ es [a1]. Las asignaciones lineales fraccionarias también se conocen como transformaciones de Möbius.


Astels, S .: Sumas de números con pequeños cocientes parciales. Proc. Soy. Matemáticas. Soc. 130, 637–642 (2002)

Davis, C.S .: Sobre algunas fracciones continuas simples conectadas con (e ). J. Lond. Matemáticas. Soc. 20, 194–198 (1945)

Diviš, B .: Sobre las sumas de fracciones continuas. Acta Arith. 22, 157–173 (1973)

Elsner, C .: Sobre las propiedades aritméticas de los convergentes del número de Euler. Coloq. Matemáticas. 79, 133–145 (1999)

Elsner, C., Komatsu, T .: Una fórmula de recurrencia para saltar convergentes de fracciones continuas no regulares. Aplicación de álgebra lineal 428, 824–833 (2008)

Elsner, C., Komatsu, T .: Sobre las clases de residuos de secuencias enteras que satisfacen una fórmula de recurrencia lineal de tres términos. Aplicación de álgebra lineal 429, 933–947 (2008)

Fowler, D.H .: The Mathematics of Platón's Academy: A New Reconstruction, 2nd edn. Publicaciones científicas de Oxford, Nueva York (1999)

Beeler, M., Gosper, R.W., Schroeppel, R .: “HAKMEM”, Tech. Rep. No. 239, Laboratorio de Inteligencia Artificial, MIT, Cambridge, MA (1972). https://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/hakmem.html o https://w3.pppl.gov/

Hall, M .: Sobre la suma y el producto de fracciones continuas. Ana. Matemáticas. 48, 966–993 (1947)

Komatsu, T .: Sobre las fracciones continuas de Hurwitz y Tasoev. Acta Arith. 107, 161–177 (2003)

Komatsu, T .: Propiedades aritméticas de los convergentes saltantes de (e ^ <1 / s> ). Tokio J. Math. 27, 1–12 (2004)

Komatsu, T .: Hurwitz y Tasoev continuaron con fracciones. Monatsh. Matemáticas. 145, 47–60 (2005)

Komatsu, T .: Algunas propiedades combinatorias de los convergentes saltadores. Enteros 7(2), 21 (2007)

Komatsu, T .: Hurwitz continuó con fracciones con funciones hipergeométricas confluentes. Checoslov. Matemáticas. J. 57, 919–932 (2007)

Komatsu, T .: Más sobre Hurwitz y Tasoev continúan las fracciones. Sarajevo J. Math. 4, 155–180 (2008)

Komatsu, T .: Algunas propiedades combinatorias de los convergentes saltadores, II. Aplicaciones de los números de Fibonacci (Procedimiento de la 12ª Conf. Int. Sobre los números de Fibonacci y sus aplicaciones). Congr. Numer. 200, 187–196 (2010)

Komatsu, T .: Saltando convergentes de Hurwitz fracciones continuas. Discutir. Matemáticas. Gen. Álgebra Appl. 31, 101–121 (2011)

Komatsu, T .: Saltando convergentes de Tasoev fracciones continuas. Discutir. Matemáticas. Gen. Álgebra Appl. 31, 201–216 (2011)

Komatsu, T .: Algunas expresiones algebraicas exactas para las colas de las fracciones continuas de Tasoev. J. Aust. Matemáticas. Soc. 92, 179–193 (2012)

Lagarias, J.C., Shallit, J.O .: Transformación fraccionaria lineal de fracciones continuas con cocientes parciales acotados. J. Theor. Nombr. Bordx. 9, 267–279 (1997)

Liardet, P., Stambul, P .: Cálculos algebraicos con fracciones continuas. J. Teoría de números 73(1), 92–121 (1998)

Lee, K .: Fracciones continuas para transformaciones fraccionarias lineales de series de potencias. Campos finitos Th. App. 11, 45–55 (2005)

Lehmer, D.H .: Fracciones continuas que contienen progresiones aritméticas. Scripta Math. 29, 17–24 (1973)

Lehmer, D.N .: Teoría aritmética de ciertas fracciones continuas de Hurwitz. Soy. J. Math. 40(4), 375–390 (1918)

Mc Laughlin, J .: Algunas familias nuevas de fracciones continuas de Tasoevian y Hurwitzian. Acta Arith. 135(3), 247–268 (2008)

Matthews, K.R., Walters, R.F.C .: Algunas propiedades de la expansión fraccionaria continua de ((m / n) e ^ <1 / q> ). Proc. Camb. Philos. Soc. 67, 67–74 (1970)

Panprasitwech, O., Laohakosol, V., Chaichana, T .: Transformaciones lineales fraccionarias de fracciones continuas con cocientes parciales acotados en el campo de las series formales. Este-Oeste J. Math. 11, 185–194 (2009)


Contenido

La transformada de Fourier continua F < displaystyle < mathcal >> de una función ƒ: RC es un operador unitario de L 2 que mapea la función ƒ a su versión frecuencial ƒ̂ (todas las expresiones se toman en el L 2 sentido, en lugar de puntual):

y ƒ está determinado por ƒ̂ a través de la transformada inversa F - 1 < displaystyle < mathcal >^<-1>>

El FRFT proporciona una familia de transformaciones lineales que amplía aún más esta definición para manejar potencias no enteras. norte = 2α/π del FT.

Nota: algunos autores escriben la transformación en términos del "orden a" en lugar del "ángulo α", en cuyo caso el α suele ser a veces π/ 2. Aunque estas dos formas son equivalentes, hay que tener cuidado con la definición que utiliza el autor.

Para cualquier α real, la transformada de Fourier fraccional de ángulo α de una función ƒ se denota por F α (u) < displaystyle < mathcal > _ < alpha> (u)> y definido por

Formalmente, esta fórmula solo es válida cuando la función de entrada está en un espacio suficientemente agradable (como L1 o el espacio de Schwartz), y se define a través de un argumento de densidad, de una manera similar a la de la transformada de Fourier ordinaria (ver artículo), en el caso general. [8]

Si α es un múltiplo entero de π, entonces las funciones cotangente y cosecante anteriores divergen. Sin embargo, esto se puede manejar tomando el límite y conduce a una función delta de Dirac en el integrando. Más directamente, ya que F 2 (f) = f (- t), F α (f) < displaystyle < mathcal > ^ <2> (f) = f (-t)

(f)> debe ser simplemente F(t) o F(−t) para α un múltiplo par o impar de π respectivamente.

Para α = π/ 2, esto se convierte precisamente en la definición de la transformada de Fourier continua, y para α = −π/ 2 es la definición de la transformada de Fourier continua inversa.

El argumento FrFT u no es espacial x ni una frecuencia ξ. Veremos por qué se puede interpretar como combinación lineal de ambas coordenadas (X,ξ). Cuando queramos distinguir el dominio fraccionario α-angular, dejaremos que x a < displaystyle x_> denote el argumento de F α < displaystyle < mathcal > _ < alpha >>.

Observación: con la convención de frecuencia angular ω en lugar de la de frecuencia, la fórmula FrFT es el núcleo de Mehler,

Propiedades Editar

El α Operador de transformada de Fourier fraccional de -o orden, F α < displaystyle < mathcal > _ < alpha >>, tiene las propiedades:

  • Aditividad. Para cualquier ángulo real α, β ,
  • Linealidad.
  • Órdenes enteras. Si α es un múltiplo entero de π / 2 < displaystyle pi / 2>, entonces:
  • Inverso.
  • Conmutatividad.
  • Asociatividad
  • Unitaridad
  • Inversión del tiempo.
  • Transformación de una función desplazada

Núcleo fraccional Editar

donde el núcleo de ángulo α es

Aquí nuevamente los casos especiales son consistentes con el comportamiento límite cuando α se acerca a un múltiplo de π.

El FrFT tiene las mismas propiedades que sus núcleos:

Transformaciones relacionadas Editar

También existen generalizaciones fraccionarias relacionadas de transformadas similares, como la transformada discreta de Fourier. El transformada de Fourier fraccional discreta es definido por Zeev Zalevsky en (Candan, Kutay & amp Ozaktas 2000) y (Ozaktas, Zalevsky & amp Kutay 2001, Capítulo 6). Somma describe un algoritmo cuántico para implementar una versión de la transformada de Fourier fraccional discreta en tiempo subpolinomial. [9]

Transformada de ondícula fraccional (FRWT): [10] Una generalización de la transformada de ondícula clásica (WT) en los dominios de la transformada de Fourier fraccional (FRFT). El FRWT se propone para rectificar las limitaciones del WT y el FRFT. Esta transformada no solo hereda las ventajas del análisis multirresolución del WT, sino que también tiene la capacidad de representar señales en el dominio fraccional que es similar al FRFT. En comparación con el FRWT existente, el FRWT (definido por Shi, Zhang y Liu 2012) puede ofrecer representaciones de señales en el plano de frecuencia fraccional de tiempo.

Vea también la transformada chirplet para una generalización relacionada de la transformada de Fourier.

Generalizaciones Editar

La transformada de Fourier es esencialmente bosónica y funciona porque es consistente con el principio de superposición y los patrones de interferencia relacionados. También hay una transformada fermiónica de Fourier. [11] Estos se han generalizado en una FRFT supersimétrica y una transformada de radón supersimétrica. [11] También hay una transformada fraccional de radón, una FRFT simpléctica y una transformada de ondícula simpléctica. [12] Debido a que los circuitos cuánticos se basan en operaciones unitarias, son útiles para calcular transformaciones integrales, ya que estas últimas son operadores unitarios en un espacio funcional. Se ha diseñado un circuito cuántico que implementa el FRFT. [13]

La interpretación habitual de la transformada de Fourier es como una transformación de una señal en el dominio del tiempo en una señal en el dominio de la frecuencia. Por otro lado, la interpretación de la transformada de Fourier inversa es como una transformación de una señal en el dominio de la frecuencia en una señal en el dominio del tiempo. Las transformadas fraccionales de Fourier transforman una señal (ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia) en el dominio entre el tiempo y la frecuencia: es una rotación en el dominio del tiempo y la frecuencia. Esta perspectiva se generaliza mediante la transformación canónica lineal, que generaliza la transformada fraccional de Fourier y permite transformaciones lineales del dominio tiempo-frecuencia distintas de la rotación.

Tome la siguiente figura como ejemplo. Si la señal en el dominio del tiempo es rectangular (como a continuación), se convierte en una función sinc en el dominio de la frecuencia. Pero si se aplica la transformada fraccionaria de Fourier a la señal rectangular, la salida de la transformación estará en el dominio entre el tiempo y la frecuencia.

La transformada fraccionaria de Fourier es una operación de rotación en una distribución de tiempo-frecuencia. De la definición anterior, para α = 0, no habrá ningún cambio después de aplicar la transformada fraccional de Fourier, mientras que para α = π/ 2, la transformada fraccional de Fourier se convierte en una transformada de Fourier simple, que rota la distribución de tiempo-frecuencia con π/ 2. Por otro valor de α, la transformada fraccional de Fourier rota la distribución de frecuencia de tiempo de acuerdo con α. La siguiente figura muestra los resultados de la transformada fraccional de Fourier con diferentes valores de α.

La transformada fraccional de Fourier se puede utilizar en análisis de frecuencia de tiempo y DSP. [14] Es útil filtrar el ruido, pero con la condición de que no se superponga con la señal deseada en el dominio de tiempo-frecuencia. Considere el siguiente ejemplo. No podemos aplicar un filtro directamente para eliminar el ruido, pero con la ayuda de la transformada fraccional de Fourier, primero podemos rotar la señal (incluida la señal y el ruido deseados). Luego aplicamos un filtro específico, que permitirá que pase solo la señal deseada. Por lo tanto, el ruido se eliminará por completo. Luego usamos la transformada fraccional de Fourier nuevamente para rotar la señal hacia atrás y podemos obtener la señal deseada.

Por lo tanto, usando solo el truncamiento en el dominio del tiempo, o filtros de paso bajo equivalente en el dominio de la frecuencia, uno puede cortar cualquier conjunto convexo en el espacio de tiempo-frecuencia simplemente usando el dominio del tiempo o los métodos del dominio de la frecuencia sin las transformadas fraccionarias de Fourier solo permiten cortar rectángulos paralelo a los ejes.

Las transformadas fraccionales de Fourier también tienen aplicaciones en física cuántica. Por ejemplo, se utilizan para formular relaciones de incertidumbre entrópica. [15]

También son útiles en el diseño de sistemas ópticos y para optimizar la eficiencia del almacenamiento holográfico. [dieciséis]


18.7: Transformaciones lineales fraccionales - Matemáticas

Suponga $ I ( bar) = bar$ (es decir, $ I $ no cambia su vector de entrada).

¿Es cierto que $ I (c bar) = cI ( bar)$ ?

¿Es cierto que $ I ( bar+ bar) = Yo ( bar) + I ( bar)$ ?

Entonces, ¿cómo se ve la forma matricial de esta identidad, $ I $? Recuerde, la primera y segunda columnas de la forma matricial indican dónde están los vectores $ begin1 0 end$ y $ begin0 1 end$ van por debajo de la transformación lineal.
Dado que $ I $ no hace nada con sus entradas, los vectores antes mencionados son las salidas y, por tanto, las columnas de la forma matricial. En otras palabras. $ I = begin1 y amp 0 0 y amp 1 end$

Ahora que hemos establecido la existencia de una identidad, podemos hablar de inversas.

Dada cualquier transformación lineal, $ M $ (en forma de matriz), ¿existe una transformación lineal (que llamaremos $ M ^ <-1> $) que "deshará" el efecto de $ M $? . y como lo encontramos

Primero, asegurémonos de que si existe un $ M ^ <-1> $ que "deshaga" el efecto de $ M $, entonces debe ser una transformación lineal.

Sea $ c $ un escalar y $ bar$ sea un vector arbitrario y comience intentando mostrar $ M ^ <-1> (c bar) = cM ^ <-1> ( barPS Suponga que hay un vector $ bar$ tal que
$ M ^ <-1> (c bar) = bar$
Pero entonces (suponiendo $ c ne 0 $),
$ begin
M ( bar) & amp = & amp c bar & amp quad quad textrm\\
Displaystyle < frac<>>)>> & amp = & amp bar & amp quad quad textrm\\
M left ( displaystyle < frac < bar>> derecha) & amp = & amp bar & amp quad quad textrm$ a ambos lados>
Displaystyle < frac < bar>> & amp = & amp M ^ <-1> ( bar) & amp quad quad textrm\\
ar & amp = & amp cM ^ <-1> ( bar) & amp quad quad
fin$
Sin embargo, sabemos desde arriba que $ M ^ <-1> (c bar) = bar$, entonces
$ M ^ <-1> (c bar) = cM ^ <-1> ( bar)$
Incluso si $ c = 0 $, aún podemos llegar a esta conclusión. Considera lo siguiente

Supongamos que $ M ^ <-1> (0 cdot bar) = M ^ <-1> ( bar <0>) = bar$ para algún vector $ barPS Luego, aplicando $ M $ encontramos $ M ( bar) = bar <0> $. Tenga en cuenta que es trivial demostrar $ M ( bar <0>) = bar <0> $ (considere el producto de la matriz). Además, dado que $ M ^ <-1> $ existe, debe haber un vector de entrada único para $ M $ que produzca cualquier vector de salida dado, por lo que $ M ^ <-1> ( bar <0>) = bar < 0> $. Por último, como sabemos $ M ^ <-1> ( bar) $ es un vector, entonces cdot M ^ <-1> ( bar) = bar <0> $. Juntando estas cosas, tenemos
$ M ^ <-1> (0 cdot bar) = M ^ <-1> ( bar <0>) = bar <0> = 0 cdot M ^ <-1> ( bar)$
Por tanto, la primera propiedad de las transformaciones lineales es válida para $ M ^ <-1> $.

Ahora, suponga además que $ bar$ es un segundo vector. Intentaremos mostrar que $ M ^ <-1> ( bar + bar) = M ^ <-1> ( bar) + M ^ <-1> ( bar)$.

Con las dos propiedades necesarias para ser una transformación lineal válida para $ M ^ <-1> $, debe ser en sí misma una transformación lineal.

Ahora que sabemos que lo que buscamos es una transformación lineal, consideremos un ejemplo específico con respecto a cómo se puede encontrar la forma matricial para esta transformación lineal:

Intentemos encontrar (si existe) la inversa de $ M = begin2 y amp 3 5 y amp 7 end$
Al ser una transformación lineal, $ M ^ <-1> $ también debe tener alguna forma de matriz; supongamos que viene dado por lo siguiente:
$ M ^ <-1> = begin2 y amp 3 5 y amp 7 end^ <-1> = begina & amp b c & amp d end$
Sabemos que $ M ^ <-1> $ "deshará" $ M $, lo que significa que para cualquier vector $ bar$, tenemos:
$ (M ^ <-1> circ M) ( bar) = M ^ <-1> (M ( bar)) = bar$
Observe que $ (M ^ <-1> circ M) $ deja su vector de entrada sin cambios, pero eso solo puede significar una cosa. $ (M ^ <-1> circ M) $ debe ser la matriz de identidad.

Por lo tanto
$ begina & amp b c & amp d end comenzar2 y amp 3 5 y amp 7 end = comenzar1 y amp 0 0 y amp 1 end$
Pero luego, "multiplicando" las matrices para componer las transformaciones lineales subyacentes, encontramos
$ begin
2a + 5b & amp = 1
3a + 7b & amp = 0
2c + 5d y amp = 0
3c + 7d y amp = 1
fin$
Podemos usar las dos primeras ecuaciones para resolver $ a $ y $ b $. (Resolvemos este sistema de la manera normal, multiplicando cada ecuación por constantes bien elegidas, de modo que cuando se suman dos ecuaciones, se elimina una de las variables).

$ Displaystyle <
comenzar
7 cdot 2a + 7 cdot 5b & amp = 7
-5 cdot 3a - 5 cdot 7b & amp = 0
fin> $ $ Displaystyle < begin
3 cdot 2a + 3 cdot 5b & amp = 3
-2 cdot 3a - 2 cdot 7 b & amp = 0
fin>$

Sumar las dos ecuaciones de la izquierda deja una ecuación que se puede resolver para $ a $, mientras que sumar las ecuaciones de la derecha deja una ecuación que se puede resolver para $ b $.

$ (7 cdot 2 - 5 cdot 3) a = 7 hspace <0.5in> (3 cdot 5 - 2 cdot 7) b = 3 $

Estos a su vez proporcionan las soluciones:

$ a = frac <7> <7 cdot 2 - 5 cdot 3> qquad b = frac <3> <3 cdot 5 - 2 cdot 7> $
Hacemos una pausa aquí por dos razones. Primero, tenga en cuenta que dejamos la solución para $ a $ y $ b $ sin simplificar, en el sentido de que no evaluamos los denominadores. Continuaremos dejando estos denominadores sin simplificar durante el resto del problema. Esto es para que podamos ver el formulario de nuestra solución en lo que respecta a los números de nuestra matriz original.

Nos gustaría encontrar un atajo, por así decirlo, para encontrar rápidamente la inversa de cualquier matriz dada. Si simplificamos las cosas ahora, detectar ese atajo será mucho más difícil.

En segundo lugar, observe que todo lo que hemos hecho hasta ahora podríamos haberlo hecho en el contexto de congruencias $ pmod$ en lugar de ecuaciones (como será el caso cuando empecemos a hablar del cifrado Hill). Sin embargo, "dividir ambos lados por algún coeficiente" en una congruencia se maneja de manera un poco diferente. En lugar de dividir (y, por lo tanto, potencialmente formar una fracción), multiplicaremos ambos lados por "inverso multiplicativo $ pmod$ del coeficiente en cuestión ". Esto será más claro más adelante, pero recuerde que aquí radica la diferencia crítica entre encontrar inversas de matrices y encontrar inversas de matrices $ pmod$.

Usando las segundas dos ecuaciones de nuestro grupo de cuatro anteriores, podemos resolver de manera similar $ c $ y $ d $.

Primero multiplicamos por constantes bien elegidas.

$ Displaystyle < begin
-7 cdot 2c - 7 cdot 5d & amp = 0
5 cdot 3c + 5 cdot 7d & amp = 5
fin> $ $ Displaystyle < begin
-3 cdot 2c - 3 cdot 5d & amp = 0
2 cdot 3c + 2 cdot 7d & amp = 2
fin>$

Sumando las ecuaciones de la izquierda, llegamos a una ecuación que puede resolverse por $ c $, y sumando las ecuaciones de la derecha, obtenemos una ecuación que puede resolverse por $ d $.

$ (5 cdot 3-7 cdot 2) c = 5 hspace <0.5in> (2 cdot 7-3 cdot 5) d = 2 $

Primero, observe que si multiplicamos las fracciones superior derecha e inferior izquierda por $ frac <-1> <-1> $, podemos hacer que todos los denominadores se vean iguales.
$ begina & amp b c & amp d end = comenzar dfrac <7> <2 cdot 7-5 cdot 3> & amp dfrac <-3> <2 cdot 7-5 cdot 3>
dfrac <-5> <2 cdot 7-5 cdot 3> & amp dfrac <2> <2 cdot 7-5 cdot 3> end$
Ahora, sacando este denominador común como un factor que se encuentra fuera de la matriz (¿por qué podemos hacer esto?), Tenemos
$ begina & amp b c & amp d end = frac <1> <2 cdot 7-5 cdot 3> begin7 y amp -3 - 5 y amp 2 end$

Como tal,
$ begin2 y amp 3 5 y amp 7 end^ <-1> = dfrac <1> <2 cdot 7 - 5 cdot 3> begin7 y amp -3 - 5 y amp 2 end$
Dado que nunca simplificamos nada de la aritmética, ahora podemos ver claramente dónde fueron los números en la forma final. Esto sugiere la siguiente "fórmula" para la forma matricial de la inversa de una transformación lineal dada:

Si una transformación lineal, $ M $, tiene forma matricial
$ M = beginx & amp y z & amp w end$
Entonces su inverso viene dado por
$ M ^ <-1> = beginx & amp y z & amp w end^ <-1> = dfrac <1>comenzarw & amp -y - z & amp x end$
Observe que, dependiendo de los valores de $ x $, $ y $, $ z $ y $ w $, es posible que tengamos un cero en el denominador de la fracción anterior. Esto sería malo en el sentido de que $ M $ ya no tendría una inversa. Entonces, el valor del denominador, $ (x cdot w - y cdot z) $, "determina" si nuestra matriz tiene o no una inversa. Como tal, llamemos a este valor especial el determinante de la matriz y denotémoslo de la siguiente manera
$ textrm = comenzarx & amp y z & amp w end = x cdot w - z cdot y $
Entonces podemos reescribir la inversa de una matriz como
$ M ^ <-1> = beginx & amp y z & amp w end^ <-1> = textrm^ <-1> beginw & amp -y - z & amp x end$


18.7: Transformaciones lineales fraccionales - Matemáticas

Fractales: Belleza útil
(Introducción general a la geometría fractal)

"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza no es suave, ni los rayos viajan en línea recta".

Edyta Patrzalek , Instituto Stan Ackermans,
IPO, Centro de Interacción Usuario-Sistema, Universidad Tecnológica de Eindhoven

Fractales es una nueva rama de las matemáticas y el arte. Quizás esta sea la razón por la que la mayoría de las personas reconocen los fractales solo como imágenes bonitas útiles como fondos en la pantalla de la computadora o patrones originales de postales. Pero, ¿qué son realmente?

La mayoría de los sistemas físicos de la naturaleza y muchos artefactos humanos no son formas geométricas regulares de la geometría estándar derivada de Euclides. La geometría fractal ofrece formas casi ilimitadas de describir, medir y predecir estos fenómenos naturales. ¿Pero es posible definir el mundo entero usando ecuaciones matemáticas?

Este artículo describe cómo se crearon los cuatro fractales más famosos y explica las propiedades fractales más importantes, que hacen que los fractales sean útiles para diferentes dominios de la ciencia.

Mucha gente está fascinada con las bellas imágenes denominadas fractales. Extendiéndose más allá de la percepción típica de las matemáticas como un cuerpo de fórmulas complicadas y aburridas, la geometría fractal mezcla el arte con las matemáticas para demostrar que las ecuaciones son más que una simple colección de números. Lo que hace que los fractales sean aún más interesantes es que son las mejores descripciones matemáticas existentes.
de muchas formas naturales, como costas, montañas o partes de organismos vivos.

Aunque la geometría fractal está estrechamente relacionada con las técnicas informáticas, algunas personas habían trabajado en fractales mucho antes de la invención de las computadoras. Esas personas eran cartógrafos británicos, que encontraron el problema de medir la longitud de la costa británica. La línea de costa medida en un mapa a gran escala era aproximadamente la mitad de la longitud de la línea de costa medida en un mapa detallado. Cuanto más de cerca miraban, más detallada y más larga se volvía la costa. They did not realize that they had discovered one of the main properties of fractals.

Two of the most important properties of fractals are self-similarity and non-integer dimension.

What does self-similarity mean? If you look carefully at a fern leaf, you will notice that every little leaf - part of the bigger one - has the same shape as the whole fern leaf. You can say that the fern leaf is self-similar. The same is with fractals: you can magnify them many times and after every step you will see the same shape, which is characteristic of that particular fractal.

The non-integer dimension is more difficult to explain. Classical geometry deals with objects of integer dimensions: zero dimensional points, one dimensional lines and curves, two dimensional plane figures such as squares and circles, and three dimensional solids such as cubes and spheres. However, many natural phenomena are better described using a dimension between two whole numbers. So while a straight line has a dimension of one, a fractal curve will have a dimension between one and two, depending on how much space it takes up as it twists and curves. The more the flat fractal fills a plane, the closer it approaches two dimensions. Likewise, a "hilly fractal scene" will reach a dimension somewhere between two and three. So a fractal landscape made up of a large hill covered with tiny mounds would be close to the second dimension, while a rough surface composed of many medium-sized hills would be close to the third dimension.

There are a lot of different types of fractals. In this paper I will present two of the most popular types: complex number fractals and Iterated Function System (IFS) fractals.

Before describing this type of fractal, I decided to explain briefly the theory of complex numbers.

A complex number consists of a real number added to an imaginary number. It is common to refer to a complex number as a "point" on the complex plane. If the complex number is , the coordinates of the point are a (horizontal - real axis) and b (vertical - imaginary axis).
The unit of imaginary numbers: .

Two leading researchers in the field of complex number fractals are Gaston Maurice Julia and Benoit Mandelbrot.

Gaston Maurice Julia was born at the end of 19th century in Algeria. He spent his life studying the iteration of polynomials and rational functions. Around the 1920s, after publishing his paper on the iteration of a rational function, Julia became famous. However, after his death, he was forgotten.

In the 1970s, the work of Gaston Maurice Julia was revived and popularized by the Polish-born Benoit Mandelbrot. Inspired by Julia s work, and with the aid of computer graphics, IBM employee Mandelbrot was able to show the first pictures of the most beautiful fractals known today.

The Mandelbrot set is the set of points on a complex plain. To build the Mandelbrot set, we have to use an algorithm based on the recursive formula:

separating the points of the complex plane into two categories:

The image below shows a portion of the complex plane. The points of the Mandelbrot set have been colored black.

It is also possible to assign a color to the points outside the Mandelbrot set. Their colors depend on how many iterations have been required to determine that they are outside the Mandelbrot set.

To create the Mandelbrot set we have to pick a point ( C ) on the complex plane. The complex number corresponding with this point has the form:

After calculating the value of previous expression:

using zero as the value of , we obtain C as the result. The next step consists of assigning the result to and repeating the calculation: now the result is the complex number . Then we have to assign the value to and repeat the process again and again.

This process can be represented as the "migration" of the initial point C across the plane. What happens to the point when we repeatedly iterate the function? Will it remain near to the origin or will it go away from it, increasing its distance from the origin without limit? In the first case, we say that C belongs to the Mandelbrot set (it is one of the black points in the image) otherwise, we say that it goes to infinity and we assign a color to C depending on the speed at which the point "escapes" from the origin.

We can take a look at the algorithm from a different point of view. Let us imagine that all the points on the plane are attracted by both: infinity and the Mandelbrot set. That makes it easy to understand why:

  • points far from the Mandelbrot set rapidly move towards infinity,
  • points close to the Mandelbrot set slowly escape to infinity,
  • points inside the Mandelbrot set never escape to infinity.

Julia sets are strictly connected with the Mandelbrot set. The iterative function that is used to produce them is the same as for the Mandelbrot set. The only difference is the way this formula is used. In order to draw a picture of the Mandelbrot set, we iterate the formula for each point C of the complex plane, always starting with . If we want to make a picture of a Julia set, C must be constant during the whole generation process, while the value of varies. The value of C determines the shape of the Julia set in other words, each point of the complex plane is associated with a particular Julia set.

We have to pick a point C ) on the complex plane. The following algorithm determines whether or not a point on complex plane Z ) belongs to the Julia set associated with C , and determines the color that should be assigned to it. To see if Z belongs to the set, we have to iterate the function using . What happens to the initial point Z when the formula is iterated? Will it remain near to the origin or will it go away from it, increasing its distance from the origin without limit? In the first case, it belongs to the Julia set otherwise it goes to infinity and we assign a color to Z depending on the speed the point "escapes" from the origin. To produce an image of the whole Julia set associated with C, we must repeat this process for all the points Z whose coordinates are included in this range:

The most important relationship between Julia sets and Mandelbrot set is that while the Mandelbrot set is connected (it is a single piece), a Julia set is connected only if it is associated with a point inside the Mandelbrot set. For example: the Julia set associated with is connected the Julia set associated with is not connected (see picture below).

Iterated Function System (IFS) fractals are created on the basis of simple plane transformations: scaling, dislocation and the plane axes rotation. Creating an IFS fractal consists of following steps:

  1. defining a set of plane transformations,
  2. drawing an initial pattern on the plane (any pattern),
  3. transforming the initial pattern using the transformations defined in first step,
  4. transforming the new picture (combination of initial and transformed patterns) using the same set of transformations,
  5. repeating the fourth step as many times as possible (in theory, this procedure can be repeated an infinite number of times).

The most famous ISF fractals are the Sierpinski Triangle and the Koch Snowflake.

This is the fractal we can get by taking the midpoints of each side of an equilateral triangle and connecting them. The iterations should be repeated an infinite number of times. The pictures below present four initial steps of the construction of the Sierpinski Triangle:

Using this fractal as an example, we can prove that the fractal dimension is not an integer.

First of all we have to find out how the "size" of an object behaves when its linear dimension increases. In one dimension we can consider a line segment. If the linear dimension of the line segment is doubled, then the length (characteristic size) of the line has doubled also. In two dimensions, if the linear dimensions of a square for example is doubled then the characteristic size, the area, increases by a factor of 4 . In three dimensions, if the linear dimension of a box is doubled then the volume increases by a factor of 8 .

This relationship between dimension D , linear scaling L and the result of size increasing S can be generalized and written as:

Rearranging of this formula gives an expression for dimension depending on how the size changes as a function of linear scaling:

In the examples above the value of D is an integer - 1 , 2 , or 3 - depending on the dimension of the geometry. This relationship holds for all Euclidean shapes. How about fractals?

Looking at the picture of the first step in building the Sierpinski Triangle, we can notice that if the linear dimension of the basis triangle ( L ) is doubled, then the area of whole fractal (blue triangles) increases by a factor of three ( S ).

Using the pattern given above, we can calculate a dimension for the Sierpinski Triangle:

The result of this calculation proves the non-integer fractal dimension.

To construct the Koch Snowflake, we have to begin with an equilateral triangle with sides of length, for example, 1 . In the middle of each side, we will add a new triangle one-third the size and repeat this process for an infinite number of iterations. The length of the boundary is -infinity. However, the area remains less than the area of a circle drawn around the original triangle. That means that an infinitely long line surrounds a finite area. The end construction of a Koch Snowflake resembles the coastline of a shore.

Four steps of Koch Snowflake construction:

Fractal geometry has permeated many area of science, such as astrophysics, biological sciences, and has become one of the most important techniques in computer graphics.

Nobody really knows how many stars actually glitter in our skies, but have you ever wondered how they were formed and ultimately found their home in the Universe? Astrophysicists believe that the key to this problem is the fractal nature of interstellar gas. Fractal distributions are hierarchical, like smoke trails or billowy clouds in the sky. Turbulence shapes both the clouds in the sky and the clouds in space, giving them an irregular but repetitive pattern that would be impossible to describe without the help of fractal geometry.

Biologists have traditionally modeled nature using Euclidean representations of natural objects or series. They represented heartbeats as sine waves, conifer trees as cones, animal habitats as simple areas, and cell membranes as curves or simple surfaces. However, scientists have come to recognize that many natural constructs are better characterized using fractal geometry. Biological systems and processes are typically characterized by many levels of substructure, with the same general pattern repeated in an ever-decreasing cascade.

Scientists discovered that the basic architecture of a chromosome is tree-like every chromosome consists of many 'mini-chromosomes', and therefore can be treated as fractal. For a human chromosome, for example, a fractal dimension D equals 2,34 (between the plane and the space dimension).

Self-similarity has been found also in DNA sequences. In the opinion of some biologists fractal properties of DNA can be used to resolve evolutionary relationships in animals.

Perhaps in the future biologists will use the fractal geometry to create comprehensive models of the patterns and processes observed in nature.

The biggest use of fractals in everyday live is in computer science. Many image compression schemes use fractal algorithms to compress computer graphics files to less than a quarter of their original size.

Computer graphic artists use many fractal forms to create textured landscapes and other intricate models.

It is possible to create all sorts of realistic "fractal forgeries" images of natural scenes, such as lunar landscapes, mountain ranges and coastlines. We can see them in many special effects in Hollywood movies and also in television advertisements. The "Genesis effect" in the film "Star Trek II - The Wrath of Khan" was created using fractal landscape algorithms, and in "Return of the Jedi" fractals were used to create the geography of a moon, and to draw the outline of the dreaded "Death Star". But fractal signals can also be used to model natural objects, allowing us to define mathematically our environment with a higher accuracy than ever before.

Many scientists have found that fractal geometry is a powerful tool for uncovering secrets from a wide variety of systems and solving important problems in applied science. The list of known physical fractal systems is long and growing rapidly.

Fractals improved our precision in describing and classifying "random" or organic objects, but maybe they are not perfect. Maybe they are just closer to our natural world, not the same as it. Some scientists still believe that true randomness does exist, and no mathematical equation will ever describe it perfectly. So far, there is no way to say who is right and who is wrong.

Perhaps for many people fractals will never represent anything more than beautiful pictures.


Linear Transformations

A linear transformation is a function from one vector space to another that respects the underlying (linear) structure of each vector space. A linear transformation is also known as a linear operator or map. The range of the transformation may be the same as the domain, and when that happens, the transformation is known as an endomorphism or, if invertible, an automorphism. The two vector spaces must have the same underlying field.

Linear transformations are useful because they preserve the structure of a vector space. So, many qualitative assessments of a vector space that is the domain of a linear transformation may, under certain conditions, automatically hold in the image of the linear transformation. For instance, the structure immediately gives that the kernel and image are both subspaces (not just subsets) of the range of the linear transformation.

Most linear functions can probably be seen as linear transformations in the proper setting. Transformations in the change of basis formulas are linear, and most geometric operations, including rotations, reflections, and contractions/dilations, are linear transformations. Even more powerfully, linear algebra techniques could apply to certain very non-linear functions through either approximation by linear functions or reinterpretation as linear functions in unusual vector spaces. A comprehensive, grounded understanding of linear transformations reveals many connections between areas and objects of mathematics.


18.7: Fractional linear transformations - Mathematics

Todos los artículos publicados por MDPI están disponibles inmediatamente en todo el mundo bajo una licencia de acceso abierto. No se requiere un permiso especial para reutilizar todo o parte del artículo publicado por MDPI, incluidas las figuras y tablas. Para los artículos publicados bajo una licencia Creative Common CC BY de acceso abierto, cualquier parte del artículo puede ser reutilizada sin permiso siempre que el artículo original esté claramente citado.

Los artículos de fondo representan la investigación más avanzada con un potencial significativo de alto impacto en el campo. Los artículos de fondo se envían por invitación individual o recomendación de los editores científicos y se someten a una revisión por pares antes de su publicación.

El artículo destacado puede ser un artículo de investigación original, un estudio de investigación novedoso y sustancial que a menudo implica varias técnicas o enfoques, o un artículo de revisión completo con actualizaciones concisas y precisas sobre los últimos avances en el campo que revisan sistemáticamente los avances científicos más interesantes. literatura. Este tipo de artículo proporciona una perspectiva sobre las futuras direcciones de la investigación o sus posibles aplicaciones.

Los artículos de Editor's Choice se basan en las recomendaciones de los editores científicos de las revistas de MDPI de todo el mundo. Los editores seleccionan una pequeña cantidad de artículos publicados recientemente en la revista que creen que serán particularmente interesantes para los autores o importantes en este campo. El objetivo es proporcionar una instantánea de algunos de los trabajos más interesantes publicados en las diversas áreas de investigación de la revista.


Your students are allowed unlimited access to WebAssign courses that use this edition of the textbook at no additional cost.

Access is contingent on use of this textbook in the instructor's classroom.

  • Chapter 1: First-Order ODEs
    • 1.1: Basic Concepts. Modelado
    • 1.2: Geometric Meaning y' = F (X, y). Direction Fields, Euler's Method
    • 1.3: Separable ODEs. Modelado
    • 1.4: Exact ODEs. Integrating Factors
    • 1.5: Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics
    • 1.6: Orthogonal Trajectories
    • 1.7: Existence and Uniqueness of Solutions for Initial Value Problems
    • 1: Review Questions and Problems
    • 2.1: Homogeneous Linear ODEs of Second Order
    • 2.2: Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients
    • 2.3: Differential Operators
    • 2.4: Modeling of Free Oscillations of a Mass&ndashSpring System
    • 2.5: Euler&ndashCauchy Equations
    • 2.6: Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian
    • 2.7: Nonhomogeneous ODEs
    • 2.8: Modeling: Forced Oscillations. Resonance
    • 2.9: Modeling: Electric Circuits
    • 2.10: Solution by Variation of Parameters
    • 2: Review Questions and Problems
    • 3.1: Homogeneous Linear ODEs
    • 3.2: Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients
    • 3.3: Nonhomogeneous Linear ODEs
    • 3: Review Questions and Problems
    • 4.0: For Reference: Basics of Matrices and Vectors
    • 4.1: Systems of ODEs as Models in Engineering Applications (3)
    • 4.2: Basic Theory of Systems of ODEs. Wronskian
    • 4.3: Constant-Coefficient Systems. Phase Plane Method (3)
    • 4.4: Criteria for Critical Points. Stability (4)
    • 4.5: Qualitative Methods for Nonlinear Systems (3)
    • 4.6: Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs (2)
    • 4: Review Questions and Problems
    • 5.1: Power Series Method
    • 5.2: Legendre's Equation. Legendre Polynomials PAGnorte(X)
    • 5.3: Extended Power Series Method: Frobenius Method
    • 5.4: Bessel's Equation. Bessel Functions Jv(X) (5)
    • 5.5: Bessel Functions of the Yv(X). General Solutions (5)
    • 5: Review Questions and Problems
    • 6.1: Laplace Transform. Linearity. First Shifting Theorem (s-Shifting) (8)
    • 6.2: Transforms of Derivatives and Integrals. ODEs (5)
    • 6.3: Unit Step Function (Heaviside Functions). Second Shifting Theorem (t-Shifting) (6)
    • 6.4: Short Impulses. Dirac's Delta Function. Partial Fractions (3)
    • 6.5: Convolution. Integral Equations (3)
    • 6.6: Differentiation and Integration of Transforms. ODEs with Variable Coefficients (4)
    • 6.7: Systems of ODEs (2)
    • 6.8: Laplace Transform: General Formulas
    • 6.9: Table of Laplace Transforms
    • 6: Review Questions and Problems
    • 7.1: Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication (3)
    • 7.2: Matrix Multiplication (4)
    • 7.3: Linear Systems of Equations. Gauss Elimination (3)
    • 7.4: Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space (11)
    • 7.5: Solutions of Linear Systems: Existence, Uniqueness
    • 7.6: For Reference: Second- and Third-Order Determinants
    • 7.7: Determinants. Cramer's Rule (4)
    • 7.8: Inverse of a Matrix. Gauss&ndashJordan Elimination (3)
    • 7.9: Vector Spaces, Inner Product Spaces. Linear Transformations (6)
    • 7: Review Questions and Problems
    • 8.1: The Matrix Eigenvalue Problem. Determining Eigenvalues and Eigenvectors (4)
    • 8.2: Some Applications of Eigenvalue Problems
    • 8.3: Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (3)
    • 8.4: Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms (5)
    • 8.5: Complex Matrices and Forms (4)
    • 8: Review Questions and Problems
    • 9.1: Vectors in 2-Space and 3-Space
    • 9.2: Inner Product (Dot Product)
    • 9.3: Vector Product (Cross Product)
    • 9.4: Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus: Derivatives
    • 9.5: Curves. Arc Length. Curvature. Torsion
    • 9.6: Calculus Review: Functions of Several Variables
    • 9.7: Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative (6)
    • 9.8: Divergence of a Vector Field (4)
    • 9.9: Curl of a Vector Field (3)
    • 9: Review Questions and Problems
    • 10.1: Line Integrals (5)
    • 10.2: Path Independence of Line Integrals (4)
    • 10.3: Calculus Review: Double Integrals (4)
    • 10.4: Green's Theorem in the Plane (5)
    • 10.5: Surfaces for Surface Integrals (7)
    • 10.6: Surface Integrals (5)
    • 10.7: Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss (4)
    • 10.8: Further Applications of the Divergence Theorem (4)
    • 10.9: Stokes's Theorem (5)
    • 10: Review Questions and Problems
    • 11.1: Fourier Series (3)
    • 11.2: Arbitrary Period. Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (4)
    • 11.3: Forced Oscillations (2)
    • 11.4: Approximation by Trigonometric Polynomials (3)
    • 11.5: Sturm&ndashLiouville Problems. Orthogonal Functions (3)
    • 11.6: Orthogonal Series. Generalized Fourier Series (3)
    • 11.7: Fourier Integral (3)
    • 11.8: Fourier Cosine and Sine Transforms (4)
    • 11.9: Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms (3)
    • 11.10: Tables of Transforms
    • 11: Review Questions and Problems
    • 12.1: Basic Concepts of PDEs (5)
    • 12.2: Modeling: Vibrating String, Wave Equation
    • 12.3: Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series (3)
    • 12.4: D'Alembert's Solution of the Wave Equation. Characteristics (2)
    • 12.5: Modeling: Heat Flow from a Body in Space. Heat Equation
    • 12.6: Heat Equation: Solution by Fourier Series. Steady Two-Dimensional Heat Problems. Dirichlet Problem (5)
    • 12.7: Heat Equation: Modeling Very Long Bars. Solution by Fourier Integrals and Transforms (4)
    • 12.8: Modeling: Membrane, Two-Dimensional Wave Equation
    • 12.9: Rectangular Membrane. Double Fourier Series (4)
    • 12.10: Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane. Fourier&ndashBessel Series (1)
    • 12.11: Laplace's Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potencial
    • 12.12: Solution of PDEs by Laplace Transforms (1)
    • 12: Review Questions and Problems
    • 13.1: Complex Numbers and Their Geometric Representation (6)
    • 13.2: Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots (8)
    • 13.3: Derivative. Analytic Function (6)
    • 13.4: Cauchy&ndashRiemann Equations. Laplace's Equation (6)
    • 13.5: Exponential Function (5)
    • 13.6: Trigonometric and Hyperbolic Functions. Euler's Formula (5)
    • 13.7: Logarithm. General Power. Principal Value (6)
    • 13: Review Questions and Problems
    • 14.1: Line Integral in the Complex Plane (6)
    • 14.2: Cauchy's Integral Theorem (6)
    • 14.3: Cauchy's Integral Formula (5)
    • 14.4: Derivatives of Analytic Functions (4)
    • 14: Review Questions and Problems
    • 15.1: Sequences, Series, Convergence Tests (9)
    • 15.2: Power Series (5)
    • 15.3: Functions Given by Power Series (5)
    • 15.4: Taylor and Maclaurin Series (5)
    • 15.5: Uniform Convergence
    • 15: Review Questions and Problems
    • 16.1: Laurent Series (7)
    • 16.2: Singularities and Zeros. Infinity (10)
    • 16.3: Residue Integration Method (9)
    • 16.4: Residue Integration of Real Integrals (9)
    • 16: Review Questions and Problems
    • 17.1: Geometry of Analytic Functions: Conformal Mapping (5)
    • 17.2: Linear Fractional Transformations (Möbius Transformations) (4)
    • 17.3: Special Linear Fractional Transformations (2)
    • 17.4: Conformal Mapping by Other Functions (8)
    • 17.5: Riemann Surfaces
    • 17: Review Questions and Problems
    • 18.1: Electrostatic Fields (3)
    • 18.2: Use of Conformal Mapping. Modeling (2)
    • 18.3: Heat Problems (3)
    • 18.4: Fluid Flow (2)
    • 18.5: Poisson's Integral Formula for Potentials
    • 18.6: General Properties of Harmonic Functions. Uniqueness Theorem for the Dirichlet Problem
    • 18: Review Questions and Problems
    • 19.1: Introduction
    • 19.2: Solution of Equations by Iteration
    • 19.3: Interpolation
    • 19.4: Spline Interpolation
    • 19.5: Numeric Integration and Differentiation
    • 19: Review Questions and Problems
    • 20.1: Linear Systems: Gauss Elimination
    • 20.2: Linear Systems: LU-Factorization, Matrix Inversion
    • 20.3: Linear Systems: Solution by Iteration
    • 20.4: Linear Systems: Ill-Conditioning, Norms
    • 20.5: Least Squares Method
    • 20.6: Matrix Eigenvalue Problems: Introduction
    • 20.7: Inclusion of Matrix Eigenvalues
    • 20.8: Power Method for Eigenvalues
    • 20.9: Tridiagonalization and QR-Factorization
    • 20: Review Questions and Problems
    • 21.1: Methods for First-Order ODEs
    • 21.2: Multistep Methods
    • 21.3: Methods for Systems and Higher Order ODEs
    • 21.4: Methods for Elliptic PDEs
    • 21.5: Neumann and Mixed Problems. Irregular Boundary
    • 21.6: Methods for Parabolic PDEs
    • 21.7: Method for Hyperbolic PDEs
    • 21: Review Questions and Problems
    • 22.1: Basic Concepts. Unconstrained Optimization: Method of Steepest Descent
    • 22.2: Linear Programming
    • 22.3: Simplex Method
    • 22.4: Simplex Method: Difficulties
    • 22: Review Questions and Problems
    • 23.1: Graphs and Digraphs
    • 23.2: Shortest Path Problems. Complejidad
    • 23.3: Bellman's Principle. Dijkstra's Algorithm
    • 23.4: Shortest Spanning Trees: Greedy Algorithm
    • 23.5: Shortest Spanning Trees: Prim's Algorithm
    • 23.6: Flows in Networks
    • 23.7: Maximum Flow: Ford&ndashFulkerson Algorithm
    • 23.8: Bipartite Graphs. Assignment Problems
    • 23: Review Questions and Problems
    • 24.1: Data Representation. Average. Propagar
    • 24.2: Experiments, Outcomes, Events
    • 24.3: Probability
    • 24.4: Permutations and Combinations
    • 24.5: Random Variables. Probability Distributions
    • 24.6: Mean and Variance of a Distribution
    • 24.7: Binomial, Poisson, and Hypergeometric Distributions
    • 24.8: Normal Distribution
    • 24.9: Distributions of Several Random Variables
    • 24: Review Questions and Problems
    • 25.1: Introduction. Random Sampling
    • 25.2: Point Estimation of Parameters
    • 25.3: Confidence Intervals
    • 25.4: Testing Hypotheses. Decisiones
    • 25.5: Quality Control
    • 25.6: Acceptance Sampling
    • 25.7: Goodness of Fit. &Chi 2 -Test
    • 25.8: Nonparametric Tests
    • 25.9: Regression. Fitting Straight Lines. Correlation
    • 25: Review Questions and Problems

    Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition by Edwin Kreyszig is known for its comprehensive coverage, careful and correct mathematics, outstanding exercises, and self-contained subject matter parts for maximum flexibility. This edition provides instructors and students with a comprehensive and up-to-date resource for teaching and learning engineering mathematics, that is, applied mathematics for engineers and physicists, mathematicians and computer scientists, as well as members of other disciplines. The WebAssign component for this text includes links to the full eBook and instant student feedback on randomized online questions.


    Rational Numbers to Linear Equations

    This is the first of three volumes that, together, give an exposition of the mathematics of grades 9&ndash12 that is simultaneously mathematically correct and grade-level appropriate. The volumes are consistent with CCSSM (Common Core State Standards for Mathematics) and aim at presenting the mathematics of K&ndash12 as a totally transparent subject.

    The present volume begins with fractions, then rational numbers, then introductory geometry that can make sense of the slope of a line, then an explanation of the correct use of symbols that makes sense of &ldquovariables&rdquo, and finally a systematic treatment of linear equations that explains why the graph of a linear equation in two variables is a straight line and why the usual solution method for simultaneous linear equations &ldquoby substitutions&rdquo is correct.

    This book should be useful for current and future teachers of K&ndash12 mathematics, as well as for some high school students and for education professionals.

    Readership

    Teachers of middle school mathematics students and professionals interested in mathematical education.


    Ver el vídeo: Εφαρμοσμένα Μαθηματικά σε κουτάκι αναψυκτικού Παπούλας Νίκος (Noviembre 2021).