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4: Secuencias y series infinitas - Matemáticas


EN ESTE CAPÍTULO consideramos sucesiones y series infinitas de constantes y funciones de una variable real.

  • La SECCIÓN 4.1 presenta sucesiones infinitas de números reales. Se define el concepto de límite de una secuencia, al igual que el concepto de divergencia de una secuencia a ( pm infty ). Discutimos las secuencias acotadas y las secuencias monótonas. Se definen el límite inferior y el límite superior de una secuencia. Demostramos el criterio de convergencia de Cauchy para secuencias de números reales.
  • La SECCIÓN 4.2 define una subsecuencia de una secuencia infinita. Mostramos que si una secuencia converge a un límite o diverge a ( pm infty ), entonces también lo hacen todas las subsecuencias de la secuencia. Los puntos límite y la acotación de un conjunto de números reales se discuten en términos de secuencias de miembros del conjunto. La continuidad y acotación de una función se discuten en términos de los valores de la función en secuencias de puntos en su dominio.
  • La SECCIÓN 4.3 introduce conceptos de convergencia y divergencia a ( pm infty ) para series infinitas de constantes. Demostramos el criterio de convergencia de Cauchy para una serie de constantes. En relación con la serie de términos positivos, consideramos la prueba de comparación, la prueba integral, la prueba de razón y la prueba de Raabe. Para series generales, consideramos la convergencia absoluta y condicional, la prueba de Dirichlet, el reordenamiento de términos y la multiplicación de una serie infinita por otra.
  • La SECCIÓN 4.4 trata de la convergencia puntual y uniforme de secuencias y series de funciones. Se prueban los criterios de convergencia uniforme de Cauchy para secuencias y series, al igual que la prueba de Dirichlet para la convergencia uniforme de una serie. Damos condiciones suficientes para que el límite de una secuencia de funciones o la suma de una serie infinita de funciones sea continua, integrable o diferenciable.
  • La SECCIÓN 4.5 considera las series de potencias. Se muestra que una serie de potencias que converge en un intervalo abierto define una función infinitamente diferenciable en ese intervalo. Definimos la serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable y damos condiciones suficientes para que la serie de Taylor converja a la función en algún intervalo. Se discuten las operaciones aritméticas con series de potencias.

Serie (matemáticas)

En matemáticas, un serie es, en términos generales, una descripción de la operación de sumar infinitas cantidades, una tras otra, a una determinada cantidad inicial. [1] El estudio de series es una parte importante del cálculo y su generalización, análisis matemático. Las series se utilizan en la mayoría de las áreas de las matemáticas, incluso para estudiar estructuras finitas (como en combinatoria) mediante funciones generadoras. Además de su ubicuidad en las matemáticas, las series infinitas también se utilizan ampliamente en otras disciplinas cuantitativas como la física, la informática, la estadística y las finanzas.

Durante mucho tiempo, la idea de que una suma tan potencialmente infinita pudiera producir un resultado finito se consideró paradójica. Esta paradoja se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII. La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga ilustra esta propiedad contraintuitiva de las sumas infinitas: Aquiles corre detrás de una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al comienzo de la carrera, la tortuga ha alcanzado una segunda posición cuando alcanza esta segunda posición. , la tortuga está en una tercera posición, y así sucesivamente. Zenón concluyó que Aquiles podía Nunca llegar a la tortuga, y por lo tanto ese movimiento no existe. Zeno dividió la carrera en infinitas subrazas, cada una de las cuales requirió una cantidad de tiempo finita, de modo que el tiempo total para que Aquiles atrapara a la tortuga viene dado por una serie. La resolución de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, lo que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga.

En la terminología moderna, cualquier secuencia infinita (ordenada) (a 1, a 2, a 3,…) < displaystyle (a_ <1>, a_ <2>, a_ <3>, ldots)> de términos (es decir , números, funciones o cualquier cosa que se pueda agregar) define una serie, que es la operación de sumar el aI uno después del otro. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, una serie puede llamarse series infinitas. Tal serie está representada (o denotada) por una expresión como

La secuencia infinita de adiciones que implica una serie no puede llevarse a cabo de manera efectiva (al menos en una cantidad de tiempo finita). Sin embargo, si el conjunto al que pertenecen los términos y sus sumas finitas tiene una noción de límite, a veces es posible asignar un valor a una serie, llamado suma de la serie. Este valor es el límite como norte tiende al infinito (si el límite existe) de las sumas finitas de norte primeros términos de la serie, que se denominan norte th sumas parciales de la serie. Es decir, [2]

Generalmente, los términos de una serie provienen de un anillo, a menudo el campo R < displaystyle mathbb > de los números reales o el campo C < displaystyle mathbb > de los números complejos. En este caso, el conjunto de todas las series es en sí mismo un anillo (e incluso un álgebra asociativa), en el que la suma consiste en sumar la serie término por término, y la multiplicación es el producto de Cauchy.


4: Secuencias y series infinitas - Matemáticas

En este capítulo veremos secuencias y series (infinitas). De hecho, este capítulo tratará casi exclusivamente de series. Sin embargo, también necesitamos comprender algunos de los conceptos básicos de las secuencias para poder tratar adecuadamente las series. Por lo tanto, también dedicaremos un poco de tiempo a las secuencias.

La serie es uno de esos temas que a muchos estudiantes no les resulta tan útil. Para ser honesto, muchos estudiantes nunca verán series fuera de su clase de cálculo. Sin embargo, las series juegan un papel importante en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sin series grandes porciones del campo de las ecuaciones diferenciales parciales no serían posibles.

En otras palabras, la serie es un tema importante incluso si nunca verá ninguna de las aplicaciones. La mayoría de las aplicaciones están fuera del alcance de la mayoría de los cursos de Cálculo y tienden a ocurrir en clases que muchos estudiantes no toman. Por lo tanto, a medida que revisa este material, tenga en cuenta que estos tienen aplicaciones, incluso si realmente no cubriremos muchas de ellas en esta clase.

Aquí hay una lista de temas en este capítulo.

Secuencias: en esta sección definimos lo que queremos decir con secuencia en una clase de matemáticas y damos la notación básica que usaremos con ellas. Nos centraremos en la terminología básica, los límites de las secuencias y la convergencia de secuencias en esta sección. También daremos muchos de los hechos y propiedades básicos que necesitaremos mientras trabajamos con secuencias.

Más sobre secuencias: en esta sección continuaremos examinando secuencias. Determinaremos si es una secuencia en una secuencia creciente o una secuencia decreciente y por lo tanto si es una secuencia monótona. También determinaremos que una secuencia está acotada abajo, acotada arriba y / o acotada.

Serie - Conceptos básicos - En esta sección definiremos formalmente una serie infinita. También daremos muchos de los hechos básicos, propiedades y formas que podemos usar para manipular una serie. También discutiremos brevemente cómo determinar si una serie infinita convergerá o divergerá (una discusión más profunda de este tema ocurrirá en la siguiente sección).

Convergencia / divergencia de series: en esta sección discutiremos con mayor detalle la convergencia y divergencia de series infinitas. Ilustraremos cómo se usan las sumas parciales para determinar si una serie infinita converge o diverge. También daremos la prueba de divergencia para series en esta sección.

Series especiales: en esta sección veremos tres series que aparecen con regularidad o que tienen algunas propiedades interesantes que deseamos discutir. Examinaremos series geométricas, series telescópicas y series armónicas.

Prueba integral: en esta sección discutiremos el uso de la prueba integral para determinar si una serie infinita converge o diverge. La prueba integral se puede utilizar en una serie infinita siempre que los términos de la serie sean positivos y decrecientes. También se proporciona una prueba de la Prueba Integral.

Prueba de comparación / Prueba de comparación de límites: en esta sección analizaremos el uso de la Prueba de comparación y las Pruebas de comparación de límites para determinar si una serie infinita converge o diverge. Para usar cualquiera de las dos pruebas, los términos de la serie infinita deben ser positivos. También se dan comprobantes de ambas pruebas.

Prueba de series alternas: en esta sección analizaremos el uso de la prueba de series alternas para determinar si una serie infinita converge o diverge. La prueba de series alternas se puede utilizar solo si los términos de la serie se alternan en el signo. También se proporciona una prueba de la prueba de series alternas.

Convergencia absoluta: en esta sección tendremos una breve discusión sobre la convergencia absoluta y la convergencia condicional y cómo se relacionan con la convergencia de series infinitas.

Prueba de razón: en esta sección discutiremos el uso de la Prueba de razón para determinar si una serie infinita converge absolutamente o diverge. La prueba de razón se puede usar en cualquier serie, pero desafortunadamente no siempre dará una respuesta concluyente sobre si una serie convergerá absolutamente o divergerá. También se proporciona una prueba de la prueba de relación.

Prueba de la raíz: en esta sección analizaremos el uso de la prueba de la raíz para determinar si una serie infinita converge absolutamente o diverge. La prueba de la raíz se puede utilizar en cualquier serie, pero desafortunadamente no siempre dará una respuesta concluyente sobre si una serie convergerá absolutamente o divergerá. También se proporciona una prueba de la prueba de raíz.

Estrategia para series: en esta sección ofrecemos un conjunto general de pautas para determinar qué prueba usar para determinar si una serie infinita convergerá o divergerá. Tenga en cuenta también que realmente no hay un conjunto de pautas que siempre funcionen, por lo que siempre debe ser flexible al seguir este conjunto de pautas. En esta sección también se proporciona un resumen de todas las diversas pruebas, así como las condiciones que deben cumplirse para usarlas, que discutimos en este capítulo.

Estimación del valor de una serie - En esta sección discutiremos cómo la prueba integral, la prueba de comparación, la prueba de series alternas y la prueba de razón pueden, en ocasiones, usarse para estimar el valor de una serie infinita.

Serie de potencias: en esta sección daremos la definición de la serie de potencias, así como la definición del radio de convergencia y el intervalo de convergencia para una serie de potencias. También ilustraremos cómo se pueden usar la prueba de razón y la prueba de raíz para determinar el radio y el intervalo de convergencia para una serie de potencias.

Series de potencias y funciones: en esta sección se analiza cómo se puede utilizar la fórmula de una serie geométrica convergente para representar algunas funciones como series de potencias. Para usar la fórmula de la serie geométrica, la función debe poder colocarse en una forma específica, lo que a menudo es imposible. Sin embargo, el uso de esta fórmula ilustra rápidamente cómo las funciones se pueden representar como una serie de potencias. También discutimos la diferenciación e integración de series de potencias.

Serie de Taylor: en esta sección analizaremos cómo encontrar la serie de Taylor / Maclaurin para una función. Esto funcionará para una variedad de funciones mucho más amplia que el método discutido en la sección anterior a expensas de algunos trabajos a menudo desagradables. También derivamos algunas fórmulas bien conocidas para la serie de Taylor de (< bf e> ^), ( cos (x) ) y ( sin (x) ) alrededor de (x = 0 ).

Aplicaciones de la serie: en esta sección echaremos un vistazo rápido a un par de aplicaciones de la serie. Ilustraremos cómo podemos encontrar una representación en serie para integrales indefinidas que no se pueden evaluar con ningún otro método. También veremos cómo podemos usar los primeros términos de una serie de potencias para aproximar una función.

Serie binomial: en esta sección daremos el teorema binomial e ilustraremos cómo se puede usar para expandir rápidamente términos en la forma ( left (a + b right) ^) cuando (n ) es un número entero. Además, cuando (n ) no es un número entero, se puede usar una extensión del teorema del binomio para dar una representación en serie de potencias del término.


Secuencia geométrica infinita

A secuencia geométrica es uno donde la razón común es constante y secuencia geométrica infinita es una secuencia geométrica con un número infinito de términos. Por ejemplo:

  • 4, 12, 36 es una secuencia geométrica (cada término se multiplica por 12, por lo que r = 12),
  • 4, 12, 36,… es una secuencia geométrica infinita, los tres puntos se llaman puntos suspensivos y significan & # 8220 y así sucesivamente & # 8221 o & # 8220etc. etc., etc. & # 8221

La prueba estándar es que esto se sigue de la serie de Taylor.

para el arcangente. Esta serie de Taylor está estrechamente relacionada con la serie de Taylor del logaritmo

y esto se debe a que la función tangente se puede escribir en términos de exponenciales complejos, por lo que la función arcotangente se puede escribir en términos de logaritmos complejos. Entonces, la aparición de $ pi $ en esta fórmula se debe moralmente a la fórmula de Euler.

Pero también está la siguiente prueba hermosa, que aprendí de Glimpses of Algebra and Geometry de Gabor Toth. Considere el número $ N (r) $ de puntos de celosía enteros dentro del círculo de radio $ r $ centrados en el origen, o en otras palabras, el número de pares de enteros $ x, y $ que satisfacen $ x ^ 2 + y ^ 2 le r ^ 2 $. No es difícil ver que $ N (r) sim pi r ^ 2 $ para $ r $ grandes de hecho, no es difícil ver que $ N (r) = pi r ^ 2 + O (r PS

Sea $ r_2 (n) $ el número de pares de enteros $ (x, y) $ tales que $ x ^ 2 + y ^ 2 = n $. Entonces $ N (r) = 1 + r_2 (1) +. + r_2 (r ^ 2) $ (si $ r $ es un número entero). Por otro lado, un resultado clásico de la teoría de números implica que

donde $ d_k (n) $ es el número de divisores de $ n $ congruentes con $ k bmod 4 $. De ello se deduce que podemos evaluar $ N (r) $ contando cuántos números entre $ 1 $ y $ r ^ 2 $ son divisibles por cada número congruente con $ 1, 3 bmod 4 $ con el signo apropiado. Esto da

$ frac <4> = r ^ 2 - left lfloor frac <3> right rfloor + left lfloor frac <5> right rfloor mp. PS

y el resultado sigue tomando el límite como $ r to infty $.

Para una perspectiva histórica (es decir, si desea ver cómo los genios lucharon con cosas que serían naturales hoy, principalmente debido a cosas que descubrieron más tarde), el buen artículo El descubrimiento de la fórmula de la serie para π por Leibniz, Gregory y Nilakantha 1 de Ranjan Roy (1990) describe cómo la fórmula se descubrió de forma independiente tres veces:

La serie (2) fue obtenida de forma independiente por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), James Gregory (1638-1675) y un matemático indio del siglo XIV o probablemente del XV cuya identidad no se conoce definitivamente. Generalmente atribuida a Nilakantha, la prueba india de (2) parece datar de mediados del siglo XV y fue una consecuencia de un esfuerzo por rectificar el círculo. […] El trabajo de Leibniz, de hecho, se centró principalmente en la cuadratura que resultó en la serie π / 4 (en 1673) cuando aplicó su método al círculo. Gregory, en comparación, estaba interesado en encontrar una representación en serie infinita de cualquier función dada y descubrió la relación entre esta y las derivadas sucesivas de la función dada. El descubrimiento de Gregory, realizado en 1671, no es otro que la nota de la serie de Taylor de que Taylor no nació hasta 1685. […]

Finalmente, aunque las pruebas de (2) de Leibniz, Gregory y Nilakantha son muy diferentes en enfoque y motivación, todas guardan una relación con la prueba moderna dada anteriormente.

Quizás vuelva y edite esta publicación para obtener un resumen de sus métodos si realmente leo el artículo. :-)

1: Ranjan Roy, Revista de Matemáticas, Vol. 63 (1990), págs. 291-306. Encontré esto mientras hojeaba el libro Sherlock Holmes en Babilonia: y otros cuentos de historia matemática.

La serie infinita $ pi / 4 = 1-1 / 3 + 1 / 5-1 / 7 + . $ se puede establecer hallando la expresión de la serie de Taylor begin f (x) = sum_^ infty frac <1> f ^ <(k)> (a) (x-a) ^ k end para $ arctan (x) $ para $ x en [-1,1] $ en $ a = 0 $ y aplicando el resultado para $ x = 1 $. La fórmula de suma geométrica finita begin suma_^ n q ^ k = frac <1-q ^> <1-q>, q in mathbb, q neq 1 end se aplica para encontrar una serie en forma de Taylor. La singularidad del polinomio de Taylor establece la singularidad de las series de Taylor. Tenga en cuenta que, por lo tanto, no necesitamos calcular todas las derivadas de $ arctan (x) $. Calculamos empezar arctan (t) & amp = & amp arctan (t) - arctan (0) = bigg vert_0 ^ t arctan (x) = int_0 ^ t frac <1> <1 + x ^ 2> dx & amp = & amp int_0 ^ t Big ( frac <1 - (- x ^ 2) ^> <1 - (- x ^ 2)> + frac <(- x ^ 2) ^> <1 - (- x ^ 2)> Big) dx & amp = & amp int_0 ^ t frac <1 - (- x ^ 2) ^> <1 - (- x ^ 2)> dx + int_0 ^ t frac <(- x ^ 2) ^> <1 - (- x ^ 2)> dx & amp = & amp int_0 ^ t sum_^ n (-x ^ 2) ^ k dx + int_0 ^ t frac <(- x ^ 2) ^> <1 + x ^ 2> dx & amp = & amp sum_^ n int_0 ^ t (-x ^ 2) ^ k dx + int_0 ^ t frac <(- x ^ 2) ^> <1 + x ^ 2> dx & amp = & amp sum_^ n int_0 ^ t ((-1) x ^ 2) ^ k dx + int_0 ^ t frac <((- 1) x ^ 2) ^> <1 + x ^ 2> dx & amp = & amp sum_^ n int_0 ^ t (-1) ^ k (x ^ 2) ^ k dx + int_0 ^ t frac <(- 1) ^(x ^ 2) ^> <1 + x ^ 2> dx & amp = & amp sum_^ n int_0 ^ t (-1) ^ k x ^ <2k> dx + int_0 ^ t frac <(- 1) ^x ^ <2 (n + 1) >> <1 + x ^ 2> dx & amp = & amp sum_^ n (-1) ^ k int_0 ^ t x ^ <2k> dx + int_0 ^ t frac <(- 1) ^x ^ <2n + 2 >> <1 + x ^ 2> dx & amp = & amp sum_^ n (-1) ^ k bigg vert_0 ^ t frac> <2k + 1> + int_0 ^ 1 frac <(- 1) ^(tx) ^ <2n + 2 >> <1+ (tx) ^ 2> t dx & amp = & amp sum_^ n (-1) ^ k frac> <2k + 1> + int_0 ^ 1 frac <(- 1) ^t ^ <2n + 2> x ^ <2n + 2 >> <1+ (tx) ^ 2> t dx & amp = & amp sum_^ n frac <(- 1) ^ k> <2k + 1> t ^ <2k + 1> + int_0 ^ 1 frac <(- 1) ^t ^ <2n + 3> x ^ <2n + 2 >> <1+ (tx) ^ 2> dx, end donde $ t in mathbb$ y $ n en mathbbPS Tenga en cuenta que $ -x ^ 2 neq 1 $ por cada $ x in mathbbPS Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de suma geométrica finita para cada $ x in mathbb$, que nos permite calcular el polinomio de Taylor para cada $ t in mathbbPS Suponga ahora $ t en [-1,1] $. Para obtener la función límite calculamos begin Bigg | arctan (t) & amp - & amp sum_^ n frac <(- 1) ^ k> <2k + 1> t ^ <2k + 1> Bigg | = Bigg | int_0 ^ 1 frac <(- 1) ^t ^ <2n + 3> x ^ <2n + 2 >> <1+ (tx) ^ 2> dx Bigg | & amp leq & amp int_0 ^ 1 Bigg | frac <(- 1) ^t ^ <2n + 3> x ^ <2n + 2 >> <1+ (tx) ^ 2> Bigg | dx & amp leq & amp int_0 ^ 1 frac <| -1 | ^| t | ^ <2n + 3> | x | ^ <2n + 2 >> <| 1+ (tx) ^ 2 |> dx & amp = & amp int_0 ^ 1 frac <1 ^| t | ^ <2n + 3> x ^ <2n + 2 >> <1+ (tx) ^ 2> dx leq int_0 ^ 1 frac <| t | ^ <2n + 3> x ^ <2n + 2 >> <1> dx & amp = & amp int_0 ^ 1 | t | ^ <2n + 3> x ^ <2n + 2> dx = | t | ^ <2n + 3> int_0 ^ 1 x ^ < 2n + 2> dx & amp = & amp | t | ^ <2n + 3> bigg vert_0 ^ 1 frac <1> <2n + 3> x ^ <2n + 3> = frac <| t | ^ <2n + 3 >> <2n + 3> leq frac <1 ^ <2n + 3 >> <2n + 3> & amp = & amp frac <1> <2n + 3> rightarrow 0, end como $ n rightarrow infty $. Por lo tanto begin arctan (x) & amp = & amp lim_ suma_^ n frac <(- 1) ^ k> <2k + 1> x ^ <2k + 1> = sum_^ infty frac <(- 1) ^ k> <2k + 1> x ^ <2k + 1> end por $ x en [-1,1] $. Ahora insertando $ x = 1 $ en la expresión en serie de $ arctan (x) $ obtenemos begin pi / 4 & amp = & amp arctan (1) = sum_^ infty frac <(- 1) ^ k> <2k + 1> 1 ^ <2k + 1> = sum_^ infty frac <(- 1) ^ k> <2k + 1> & amp = & amp 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + . , final ese es el resultado deseado. Espero que esto sea lo que estabas buscando.


Series infinitas

De lo contrario, decimos que la serie ( sum limits_^ infty <> ) diverge.

(N ) ésimo término de prueba

Si la serie ( sum limits_^ infty <> ) es convergente, entonces ( lim limits_ = 0.)

¡Importante!

Lo contrario de este teorema es falso. La convergencia de (<> ) a cero no implica que la serie ( sum limits_^ infty <> ) converge. Por ejemplo, la serie armónica ( sum limits_^ infty < large frac <1> normalsize> ) diverge (ver Ejemplo (3 )), aunque ( lim limits_ = 0.)

De manera equivalente, si ( lim limits_ ne 0 ) o este límite no existe, entonces la serie ( sum limits_^ infty <> ) es divergente.

Propiedades de las series convergentes

Deje ( sum limits_^ infty <> = A ) y ( sum limits_^ infty <> = B ) ser una serie convergente y sea (c ) un número real. Luego


Secuencias infinitas

Una secuencia de números reales es una función (f left (n right), ) cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Los valores ( = f left (n right) ) tomados por la función se denominan términos de la secuencia.

El conjunto de valores ( = f left (n right) ) se denota por ( left <<> derecha >. )

Una secuencia ( left <<> right > ) tiene el límite (L ) si para cada ( varepsilon gt 0 ) existe un entero (N gt 0 ) tal que si (n ge N, ) luego ( left | <& # 8211 L> derecha | le varepsilon. ) En este caso escribimos:

La secuencia ( left <<> right > ) tiene el límite ( infty ) si para cada número positivo (M ) hay un entero (N gt 0 ) tal que si (n ge N ) entonces ( gt M. ) En este caso escribimos

Si el límite ( lim limits_ = L ) existe y (L ) es finito, decimos que la secuencia converge. De lo contrario, la secuencia diverge.

Teorema de compresión.

Suponga que ( lim limits_ = lim limites_ = L ) y ( left <<> right > ) es una secuencia tal que ( le le ) para todo (n gt N, ) donde (N ) es un número entero positivo. Luego

La secuencia ( left <<> right > ) está acotado si hay un número (M gt 0 ) tal que ( left | <> derecha | le M ) para cada positivo (n. )

Toda secuencia convergente está acotada. Toda secuencia ilimitada es divergente.

La secuencia ( left <<> right > ) es monótono aumentando si ( le <>> ) para cada (n ge 1. ) De manera similar, la secuencia ( left <<> right > ) se llama monótono decreciente si ( ge <>> ) para cada (n ge 1. ) La secuencia ( left <<> right > ) se llama monótono si es monótono creciente o monótono decreciente.


Agreguemos los términos uno a la vez. Cuando la "suma hasta ahora" se acerca a un valor finito, se dice que la serie es "convergente":

12 + 14 + 18 + 116 + .

Término Suma hasta ahora
1/2 0.5
1/4 0.75
1/8 0.875
1/16 0.9375
1/32 0.96875
. .

Las sumas se dirigen hacia un valor (1 en este caso), por lo que esta serie es convergente.

La "suma hasta ahora" se llama suma parcial.

Entonces, de manera más formal, decimos que es una serie convergente cuando:

"la secuencia de sumas parciales tiene un límite finito".


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Después de haber revisado las cosas dadas anteriormente, esperamos que los estudiantes hayan entendido las secuencias y series.

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